2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（七） Word版含解析

课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1化简求值1．下列与sinθ－π2的值相等的式子为()A．sinπ2＋θB．cosπ2＋θC．cos3π2－θD．sin3π2＋θ2．化简：sin(－α－7π)·cosα－3π2＝________．3．化简：1tan2（－α）＋1sinπ2－α·cosα－3π2·tan（π＋α）.题组2条件求值问题4．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）等于()A．2B．－2C．0D.235．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos3π2－α＋2sin(2π－α)的值为()A．－23mB.23mC．－32mD.32m6．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为()A．－223B.223C．－23D.237．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________．8．已知sinα是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求sinα＋3π2·sin3π2－α·tan2（2π－α）·tan（π－α）cosπ2－α·cosπ2＋α的值．题组3三角恒等式的证明9．求证：tan（2π－α）cos3π2－αcos（6π－α）tan（π－α）sinα＋3π2cosα＋3π2＝1.10．求证：cos（π－θ）cosθsin3π2－θ－1＋cos（2π－θ）cos（π＋θ）sinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.[能力提升综合练]1．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A．－12B.12C．－32D.322．已知sinα＋π2＝13，α∈－π2，0，则tanα的值为()A．－22B．22C．－24D.243．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为()A．－13B.13C．－223D.2234．在△ABC中，下列各表达式为常数的是()A．sin(A＋B)＋sinCB．cos(B＋C)－cosAC．sin2A＋B2＋sin2C2D．sinA＋B2sinC25．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．6．已知tan()3π＋α＝2，则sin（α－3π）＋cos（π－α）＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin（－α）＋cos（π＋α）＝________．7．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求sin－α－3π2cos3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．8．是否存在角α，β，α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．答案[学业水平达标练]1.解析：选D因为sinθ－π2＝－sinπ2－θ＝－cosθ，对于A，sinπ2＋θ＝cosθ；对于B，cosπ2＋θ＝－sinθ；对于C，cos3π2－θ＝cosπ＋π2－θ＝－cosπ2－θ＝－sinθ；对于D，sin3π2＋θ＝sinπ＋π2＋θ＝－sinπ2＋θ＝－cosθ.2.解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos3π2－α＝－sin(π＋α)·－cosπ2－α＝sinα·(－sinα)＝－sin2α.答案：－sin2α3.解：∵tan(－α)＝－tanα，sinπ2－α＝cosα，cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα，tan(π＋α)＝tanα，∴原式＝1tan2α＋1cosα·（－sinα）·tanα＝1sin2αcos2α＋1－sin2α＝cos2α－1sin2α＝－sin2αsin2α＝－1.4.解析：选B原式＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝－2.5.解析：选C∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－sinα－sinα＝－m，∴sinα＝m2.∴cos3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－3×m2＝－32m.6.解析：选A由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋α)＝13＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos2（60°＋α）＝－1－132＝－223.7.解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45＞0，知85°＋α是第四象限角，∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.答案：358.解：∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－23，又∵－1≤sinα≤1，∴sinα＝－23.又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－53，tanα＝255.∴原式＝（－cosα）·（－cosα）·tan2α·（－tanα）sinα·（－sinα）＝tanα＝255.9.证明：左边＝tan（－α）－cosπ2－αcos（－α）（－tanα）－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝（－tanα）（－sinα）cosα（－tanα）（－cosα）sinα＝1＝右边．∴原式成立．10.证明：左边＝－cosθcosθ（－cosθ－1）＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ（1＋cosθ）（1－cosθ）＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．∴原式成立．[能力提升综合练]1.解析：选Bcos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.2.解析：选A由已知得，cosα＝13，又α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223.因此，tanα＝sinαcosα＝－22.3.解析：选B∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝13.4.解析：选Csin2A＋B2＋sin2C2＝sin2π－C2＋sin2C2＝cos2C2＋sin2C2＝1.5.解析：将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝12，则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝892.答案：8926.解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，则原式＝sin（α－π）－cosα＋cosα＋2sinαsinα－cosα＝－sinα＋2sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.答案：27.解：原式＝－sinπ＋π2＋αcosπ＋π2－αsinαcosα·tan2α＝－sinπ2＋αcosπ2－αsinαcosα·tan2α＝－cosαsinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α.方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，cosα＝－45，∴tanα＝34，故原式＝－tan2α＝－916.8.解：假设存在角α，β满足条件，则sinα＝2sinβ，①3cosα＝2cosβ，②由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝12，∴sinα＝±22.∵α∈－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，cosβ＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cosβ＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．