2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（二十三） Word版含解析

课下能力提升(二十三)[学业水平达标练]题组1给角求值问题1．sin105°的值为()A.3＋22B.2＋12C.6－24D.2＋642．cos－17π4－sin－17π4的值是()A.2B．－2C．0D.223．tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°的值是________．题组2给值(式)求角问题4．设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π45．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝________．6．已知△ABC中B＝60°，且1cosA＋1cosC＝－2cosB，若AC，求A的值．题组3条件求值问题7．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝()A．－7210B.7210C．－210D.2108．已知α为钝角，且sinα＋π12＝13，则cosα＋5π12的值为()A.22＋36B.22－36C．－22＋36D.－22＋369．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________．10．已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．[能力提升综合练]1．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4，4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()A．－34B．－14C.34D.143.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值等于()A．－1B．1C.3D．－34.cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝________．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．7．已知函数f(x)＝2cosx4＋π6，x∈R.设α，β∈0，π2，f4α＋4π3＝－3017，f4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．答案[学业水平达标练]1.解析：选Dsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.2.解析：选Acos－17π4－sin－17π4＝cos17π4＋sin17π4＝2sin17π4＋π4＝2sin9π2＝2.3.解析：∵tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.答案：34.解析：选C因为α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×(－31010)－55×1010＝22，所以α＋β的值为7π4.5.解析：(tanα－1)(tanβ－1)＝2⇒tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2⇒tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1⇒tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－π4，k∈Z.答案：kπ－π4，k∈Z6.解：由已知B＝60°，A＋C＝120°，设A－C2＝α，∵AC，则0°α120°，故A＝A＋C2＋A－C2＝60°＋α，C＝A＋C2－A－C2＝60°－α，故1cosA＋1cosC＝1cos（60°＋α）＋1cos（60°－α）＝112cosα－32sinα＋112cosα＋32sinα＝cosα14cos2α－34sin2α＝cosαcos2α－34.由题设有cosαcos2α－34＝－2cosB＝－22，整理得：42cos2α＋2cosα－32＝0.(2cosα－2)(22cosα＋3)＝0.∵22cosα＋3≠0，∴2cosα－2＝0.∴cosα＝22.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.7.解析：选A因为cosα＝－45，α是第三象限角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.8.解析：选C∵α是钝角，且sinα＋π12＝13，∴cosα＋π12＝－223，∴cosα＋5π12＝cosα＋π12＋π3＝cosα＋π12cosπ3－sinα＋π12sinπ3＝－223×12－13×32＝－22＋36.9.解析：由已知得：sinθcos24°＋cosθsin24°＝cos24°cosθ＋sinθsin24°⇒(sinθ－cosθ)(cos24°－sin24°)＝0⇒sinθ＝cosθ⇒tanθ＝1，∴tan(θ＋60°)＝1＋31－3＝－2－3.答案：－2－310.解：由题意，得cosα－β2＝－35，sinα2－β＝－513，∴tanα－β2＝－43，tanα2－β＝512，∴tanα＋β2＝tanα－β2－α2－β＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.[能力提升综合练]1.解析：选C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sinCcosB⇒sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB⇒sinBcosC－cosBsinC＝0⇒sin(B－C)＝0.∵0Bπ，0Cπ，∴－πB－Cπ.∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．2.解析：选Ba·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0，∴sinα＋π3＝14.sinα＋4π3＝－sinα＋π3＝－14.3.解析：选D∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.∴原式＝tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°tan10°tan50°＝－3.4.解析：原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案：335.∵0βαπ2，∴cos(α－β)＝1314.又∵cosα＝17，∴sinα＝437，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π3.答案：π36.解：由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan（α＋β）＋tanβ1－tan（α＋β）tanβ＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4.7.解：∵f4α＋4π3＝－3017，∴2cos144α＋4π3＋π6＝2cosα＋π2＝－3017，∴sinα＝1517.又∵f4β－2π3＝85，∴2cos144β－2π3＋π6＝2cosβ＝85，∴cosβ＝45.又∵α，β∈0，π2，∴cosα＝817，sinβ＝35，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.