第一次月考数学试卷第1页(共4页)EFDCBA北大学园北京龙门育才学校2009—2010学年度第一次月考数学试题(理科)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知A={x|x≤32,x∈R},a=5,b=23,则()A.a∈A且bAB.aA且b∈AC.a∈A且b∈AD.aA且bA2.已知命题p:Rx,xx222.则它的否定是(B)A.p:Rx,xx222B.p:Rx,xx222C.p:Rx,xx222D.p:Rx,xx2223.向量a=(1,-2),b=(6,3),则a与b的夹角为()A.60B.90C.120D.1504.函数y=x(x0)的反函数是()A.2yx(x0)B.2yx(x0)C.2yx(x0)D.2yx(x0)5.若函数)(xf的定义域是[0,4],则函数xxfxg)2()(的定义域是()A[0,2]B(0,2)C(0,2]D[0,2)6.已知条件甲:函数xaxf)((a0,a≠1)在其定义域内是减函数,条件乙:a21log0,则条件甲是条件乙的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分又不必要的条件7.已知定义在R上的函数)(xf为奇函数,且当xmxfx21)(0时,则m的值为()A.0B.1C.-1D.28.22(1cos)xdx等于()A.B.2C.-2D.+2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。9.若集合{1,0,1,2},{|(1)0}MNxxx,则MN______10.函数y=x2log2的定义域是______________11.若函数()yfx是函数1xyaaa(0,且)的反函数,且(2)1f,则()fx________________12.曲线y=2x和曲线y=3x2围成的图形的面积是_________________13.已知向量333(,),(,)222ab,若a∥b,则的值为_________14.给出下列五个命题:(1)已知命题p为“),0[x,1)2(log3x”,则p是真命题(2)函数)(xfy的图象与直线ax至多有一个交点.(3)若qp为假命题,则qp、均为假命题(4)2x是1x充分不必要条件(5)函数3xy在R上既是奇函数又是增函数.所有真命题的序号为_____________________三、解答题:每小题共6小题,共80分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。15.(本小题满分12分)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为。16.(本小题满分13分)(1)已知向量(1,1),(2,),xab若a+b与4b2a平行,求实数x的值是。(2)如图1,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,试求CFBEAD的值。班级_________姓名________考号___________————密———封————线——-内———不———要———答———题————第一次月考数学试卷第2页(共4页)17.(本小题满分13分)函数1)2()(2axaxxf是偶函数。(1)试求)(xf的解析式。(2)求曲线1)(xxfy在处的切线方程是18.(本小题满分14分)设命题p:若()yfx为单调增函数,则()(0,1)xyfaaa也是单调增函数.命题q:存在实数a,使关于x的方程2322log0axx的解集是空集,当p或q有且只有一个正确时,求实数a的取值范围.19.(本小题满分14分)已知函数2()(0,,)fxaxbxcabRcR(1)若函数()fx的最小值是(1)0f,且1c,0)(0)()(<>xxfxxfxF求(2)(2)FF的值;(2)若1,0ac,且|()|1fx在区间(0,1]恒成立,试求b取范围。20.(本小题满分14分)已知函数3223()39fxxaxaxa.(1)设1a,求函数fx的极值;(2)若14a,且当1,4xa时,)('xf12a恒成立,试确定a的取值范围.第一次月考数学试卷第3页(共4页)EFDCBA北大学园北京龙门育才学校2009—2010学年度第一次月考数学试题(理科)参考答案一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知A={x|x≤32,x∈R},a=5,b=23,则(C)A.a∈A且bAB.aA且b∈AC.a∈A且b∈AD.aA且bA2.已知命题p:Rx,xx222.则它的否定是(B)A.p:Rx,xx222B.p:Rx,xx222C.p:Rx,xx222D.p:Rx,xx2223.向量a=(1,-2),b=(6,3),则a与b的夹角为(B)A.60B.90C.120D.1504.函数y=x(x0)的反函数是(B)A.2yx(x0)B.2yx(x0)C.2yx(x0)D.2yx(x0)5.若函数)(xf的定义域是[0,4],则函数xxfxg)2()(的定义域是(C)A[0,2]B(0,2)C(0,2]D[0,2)6.已知条件甲:函数xaxf)((a0,a≠1)在其定义域内是减函数,条件乙:a21log0,则条件甲是条件乙的(C)A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分又不必要的条件7.已知定义在R上的函数)(xf为奇函数,且当xmxfx21)(0时,则m的值为(B)A.0B.1C.-1D.28.22(1cos)xdx等于(D)A.B.2C.-2D.+2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。9.若集合{1,0,1,2},{|(1)0}MNxxx,则MN______{0,1}10.函数y=x2log2的定义域是______________[4,+∞)11.若函数()yfx是函数1xyaaa(0,且)的反函数,且(2)1f,则()fx________________x2log12.曲线y=2x和曲线y=3x2围成的图形的面积是_________________27413.已知向量333(,),(,)222ab,若a∥b,则的值为_________1214.给出下列五个命题:(1)已知命题p为“),0[x,1)2(log3x”,则p是真命题(2)函数)(xfy的图象与直线ax至多有一个交点.(3)若qp为假命题,则qp、均为假命题(4)2x是1x充分不必要条件(5)函数3xy在R上既是奇函数又是增函数.所有真命题的序号为_____________________(2)(3)(4)(5)三、解答题:每大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。15.(本小题满分12分)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为。解:设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5xx,――――10分故15530812xx.-------12分注:最好作出韦恩图!16.(本小题满分13分)(1)已知向量(1,1),(2,),xab若a+b与4b2a平行,求实数x的值是。解法1因为(1,1),(2,)abx,所以(3,1),42(6,42),abxbax由于ab与42ba平行,得6(1)3(42)0xx,解得2x。解法2因为ab与42ba平行,则存在常数,使(42)abba,即(21)(41)ab,根据向量共线的条件知,向量a与b共线,故2x。7分(2)如图1,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,试求CFBEAD的值。解:,,ADDBADBEDBBEDEFC得班级_________姓名________考号___________————密———封————线——-内———不———要———答———题————第一次月考数学试卷第4页(共4页)0ADBECF,或0ADBECFADDFCFAFCF.-----13分17.(本小题满分13分)函数1)2()(2axaxxf是偶函数。(1)试求)(xf的解析式。(2)求曲线1)(xxfy在处的切线方程是答案:(1)a=2,1)(2xxf---6分;(2)y=2x----13分18.(本小题满分14分)设命题p:若()yfx为单调增函数,则()(0,1)xyfaaa也是单调增函数.命题q:存在实数a,使关于x的方程2322log0axx的解集是空集,当p或q有且只有一个正确时,求实数a的取值范围.解:当p为真命题时,1a.…5分当q为真命题时,必有方程2322log0axx无实数根,∴3244log0a,得32log1a.∴321a.……12分故当p或q有且只有一个正确时,a的取值范围32[,).……14分19.(本小题满分14分)已知函数2()(0,,)fxaxbxcabRcR(1)若函数()fx的最小值是(1)0f,且1c,0)(0)()(<>xxfxxfxF求(2)(2)FF的值;(2)若1,0ac,且|()|1fx在区间(0,1]恒成立,试求b取范围。解:(1)由已知1,0cabc,且12ba解得1,2,ab(3分)2()(1),fxx22(1),(0)()(1)(0),xxFxxx22(2)(2)(21)[(21)]8FF(7分)(2)2()fxxbx,原命题等价于211xbx在(0,1]恒成立1bxx且1bxx在(0,1]恒成立(9分)1xx的最小值为0(11分)1xx的最大值为2(13分)所以20b(14分)20.(本小题满分14分)已知函数3223()39fxxaxaxa.(1)设1a,求函数fx的极值;(2)若14a,且当1,4xa时,)('xf12a恒成立,试确定a的取值范围.解:(Ⅰ)当a=1时,对函数()fx求导数,得21'2()369.fxxx令'12()0,1,3.fxxx解得列表讨论'(),()fxfx的变化情况:x(,1)1(-1,3)3(3,)'()fx+0—0+()fx极大值6极小值-26所以,()fx的极大值是(1)6f,极小值是(3)26.f7分(Ⅱ)'22()369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.若'11,()4afx则在[1,4a]上是增函数,从而'()fx在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,faa最大值是'2(4)15.faa由'22|()|12,1236912,fxaaxaxaa得于是有'2'2(1)36912,(4)1512.faaafaaa且由''14(1)121,(4)120.35faafaaa得由得所以11414(,1][,1][0,],(,].43545aa即若a1,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12faaaxafxa故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])fxaxa恒成立的a的取值范围是14(,].4514分