北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考（数学

北京龙门育才学校2010—2011学年度高三第一学期第三次月考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设iz1（为虚数单位），则zz22（）A．i1B．i1C．i1D．i12．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离3．函数1)4(cos22xy是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为2的奇函数D．最小正周期为2的偶函数4．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。则该几何体的俯视图可以是（）5．（文科）设nS是等比数列na的前项和，3613SS，则612SS等于（）A．13B．51C．18D．195．（理科）已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为（）A．10B．10．5C．9D．86．若函数fx在R上可导，且2/()2(2)fxxfxm()mR，则（）A．(0)(5)ffB．(0)(5)ffC．(0)(5)ffD．无法确定7．已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（）A．xxxfln2B．xxxfln2C．xxxflnD．xxxfln8．已知函数21(0)()(1)1(0)xxfxfxx，把函数()()gxfxx的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．*(1)()2nnnanNB．*1()nannNC．*(1)()nannnND．*22()nnanN二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上）9．已知是第二象限的角，1tan2，则cos__________。10．已知过(2,)Aa，(,10)Ba两点的直线与直线210xy平行，则a的值为______。11．函数2lg(2)()xxfxxx的定义域是。12．若两个非零向量,ab满足2ababa，则向量ab与ab的夹角是。13．经过点(2,3)P作圆22(1)25xy的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为___________。14．定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作nii1，niinaTNn1).(记，其中ai为数列)}({Nnan中的第i项．①若32nan，则4T=；②若22(),nnTnnNa则．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分12分）将直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，试求所得到的直线方程。16．（文科做）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acbca21222（Ⅰ）求Bcos的值；（Ⅱ）求BCA2cos2sin2的值．16．（理科做）（本小题满分13分）已知向量a＝)6cos,6(sin22xx，22(sin,cos),66bxxbaxg)(。（Ⅰ）求函数()gx的解析式，并求其单调增区间；（Ⅱ）若集合}),1()2()(|)({RxxfxfxfxfM，试判断)(xg与集合M的关系。17．（本题满分14分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC；（Ⅲ）（理科做）当二面角EBDC的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．OSABCDE18．（本小题满分13分）在数列{na}中，311a，并且对任意2,nNn都有nnnnaaaa11成立，令)(1Nnabnn．（Ⅰ）求数列{nb}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和nT．19．（文科做）（本小题满分14分）设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中（Ⅰ）当时，1m曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；19．（理科做）（本小题满分14分）设函数()xefxx（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，求不等式'()(1)()0fxkxfx的解集．20．（本小题满分14分）定义域为[1,1]的奇函数()fx,满足()(2)fxfxk()kZ，且当(0,1)x时，2()41xxfx。（Ⅰ）求()fx在[1,1]上的解析式；（Ⅱ）当m取何值时，方程()fxm在(0,1)上有解？参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C2．B3．A4．C5．（文科）B5．（理科）B6．C7．B8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上）9．25510．______211．1,012．2313．50xy14．280；22,(1)(),(2)1nnannn三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分12分）将直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，试求所得到的直线方程。答案：1133yx16．（文科做）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acbca21222（Ⅰ）求Bcos的值；（Ⅱ）求BCA2cos2sin2的值．解：（1）由已知得，412cos222acbcaB（2）21cos21cos22cos2cos2cos2sin222BBBBBCA=-41OSABCDE16．（理科做）（本小题满分3分已知向量a＝)6cos,6(sin22xx，22(sin,cos),66bxxbaxg)(。（Ⅰ）求函数()gx的解析式，并求其单调增区间；（Ⅱ）若集合}),1()2()(|)({RxxfxfxfxfM，试判断)(xg与集合M的关系。解：（Ⅰ）44()sincos66gxxx)6cos6(sin22xxxxx3cos)6cos6(sin22，由,,366,,232ZkkxkZkkxk得)(xg的单调增区间为).](36,6[Zkkk（Ⅱ）)]323cos(3[cos)2()(xxxgxg)32sin3sin32cos3cos3(cosxxx13(cossin)2323xx)1()1(3cosxgx，.)(Mxg17．（本题满分14分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC；（Ⅲ）（理科做）当二面角EBDC的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．解法一：证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）由已知可得，SBSD,O是BD中点，所以BDSO^．又因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC^．因为ACSOO，所以BDSAC面．又因为BDBDE面，所以平面BDE平面SAC．（Ⅲ）解：连接OE，由（Ⅱ）知OSABCDEOyzxSABCDEBDSAC面．而OESAC面,所以BDOE．又BDAC．所以EOC是二面角EBDC的平面角，即45EOC．设四棱锥SABCD的底面边长为2，在SAC中，2SASC,22AC,所以2SO．又因为122OCAC,SOOC,所以SOC是等腰直角三角形．由45EOC可知，点E是SC的中点．解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SOABCD面，ACBD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥SABCD的底面边长为2，则(0,0,0)O，(0,0,2)S，2,0,0A，0,2,0B，2,0,0C，0,2,0D．所以22,0,0AC，0,22,0BD．设CEa（02a），由已知可求得45ECO．所以22(2,0,)22Eaa，22(2,2,)22BEaa．设平面BDE法向量为(,,)xyzn，则0,0BDBEnn即0,22(2)20.22yaxyaz令1z，得(,0,1)2aan．易知0,22,0BD是平面SAC的法向量．因为(,0,1)(0,22,0)02aBDan，所以BDn，所以平面BDE平面SAC．（Ⅲ）解：设CEa（02a），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(,0,1)2aan．因为SOABCD底面，所以(0,0,2)OS是平面SAC的一个法向量．由已知二面角EBDC的大小为45．所以2cos,cos452OSn，所以2222()122aa，解得1a．所以点E是SC的中点．18．（本小题满分13分）在数列{na}中，311a，并且对任意2,nNn都有nnnnaaaa11成立，令)(1Nnabnn．（Ⅰ）求数列{nb}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和nT．解：（1）当n=1时，3111ab,当2n时，由nnnnaaaa11得,1111nnaa所以11nnbb所以数列}{nb是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列}{nb的通项公式为2nbn（2）111151314121311(218)211(21)2(1nnTnnnnnann分)2)(1(42)1(44311)23(453)]2111(23[21)21122nnnnnnnnnnn分19．（文科做）（本小题满分14分）设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中（Ⅰ）当时，1m曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；解析当1)1(,2)(,31)(1'2/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率为1．（2）解析12)(22'mxxxf，令0)('xf，得到mxmx1,1因为mmm11,0所以当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下表：x)1,(mm1)1,1(mmm1),1(m)('xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1,(m和),1(m内减函数，在)1,1(mm内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1(mf，且)1(mf=313223mm．19．（理科做）（本小题满分14分）设函数()xefxx（1）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，求不等式'()(1)()0fxkxfx的解集．解析（1）'22111()xxxxfxeeexxx,由'()0fx,得1x．因为当0x时,'()0fx；当01x时,'()0fx；当1x时,'()0fx；所以()fx的单调增区间是:[1,)；单调减区间是: