北京市昌平一中2010届高三上学期期中考试(数学理)

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北京市昌平一中2010届高三上学期期中考试(数学理)[2009年10月28日]本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共120分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在相应位置上.2.每小题选出答案后,把答案填写在机读卡上.如需改动,用橡皮擦干净后,再选填其他答案标号.一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合lg0Axx,220Bxxx,则AB()A.210xxB.110xxC.12xxD.02xx2.已知p:关于x的不等式220xaxa的解集是R,q:01a,则p是q的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC.充分必要条件D.既非充分又非必要条件3.函数xxgxxf122)(log1)(与在同一直角坐标系下的图象大致是()ABCD4.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有()A.186种B.31种C.270种D.216种5.等差数列{na}中,,数列02211273aaa{nb}为等比数列,且77ba,则86bb的值为()A.2B.4C.8D.166.右图是函数2()fxxaxb的部分图象,则函数()ln()gxxfx的零点所在的区间是()A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)7.设,abR,若33是3a与3b的等比中项,则ba22的最小值是()A.6B.42C.22D.268.函数f(x)的定义域为D,若对于任意12,xxDÎ,当12xx时,都有12()()fxfx£,则称函数()fx在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:○1(0)0f=;○21()()32xffx=;○3(1)1()fxfx-=-.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m科网则11()()38ff+等于()高.考.资.源.网A.34B.12高.考.资.源.网C.1D.23高.考.资.源.网第Ⅱ卷(填空题解答题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9.执行右边的程序框图,输出的T=10522()xx+的展开式中2x的系数是___________;其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)高.考.资.源.网11.满足不等式组0,087032yxyxyx,则目标函数3zxy的最大值为12.如下图是北京奥运会吉祥物“福娃”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含()fn个“福娃”,则(5)f;()fn.(填数字或解析式)13.设曲线1*()nyxnN在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax,则1299aaa的值为14.对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如右图的方式“分裂”,仿此,52的“分裂”中最大的数是__________,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为__________.三、解答题:本大题共6道题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)函数2()lg(2)fxxx的定义域为集合A,函数()3||gxx的定义域为集合B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(1)求AB和AB;(2)若ACpxxC,04|,求实数p的取值范围.16.(本小题满分13分)已知数列{na}满足120nnaa,且23a是42,aa的等差中项.(Ⅰ)求数列{na}的通项公式na;(Ⅱ)若nb=12132logna,12nnSbbb,求nS的最大值.17.(本小题满分13分)一个袋中有大小相同的标有1,2,3,4,5,6的6个小球,某人做如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回),记下标号。若拿出球的标号是3的倍数,则得1分,否则得1分.(1)求拿4次至少得2分的概率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)求拿4次所得分数的分布列和数学期望.18.(本小题满分13分)在四棱锥ABCDP中,PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,1(0)ABPABCaa.(Ⅰ)当1a时,求证:BDPC;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q,使得QDPQ,求此时二面角QPDA的余弦值.ABQDCP19.(本小题满分14分)已知数列}{na是等差数列,18,652aa,数列}{nb的前n项和是Tn,且.121nnbT(1)求数列}{na的通项公式;(2)求证数列}{nb是等比数列;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(3)记nnnbac,求证:.1nncc20.(本小题满分14分)已知xxxgexxaxxfln)(],,0(,ln)(,其中e是自然常数,.aR(1)讨论1a时,()fx的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)求证:在(1)的条件下,1()()2fxgx;(3)是否存在实数a,使()fx的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.昌平一中高三年级理科数学期中测试题答案一选择题题号12345678答案CBCADCBA二、填空题9.3010.1024311.412.412221nn13.-214.915三、解答题15.解:(1)依题意,得2|20Axxx,|3||0Bxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m|{xA1x或2x}|{xB33x}∴A∩B=|{x13x或}32x,A∪B=R.(2)由04px得4px,而AC14p4p.16.(Ⅰ)∵120nnaa,即12nnaa,∴数列{na}是以2为公比的等比数列。∵23a是42,aa的等差中项,∴24324aaa,∴1112884aaa,∴12a,∴数列{na}的通项公式2nna。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)由(Ⅰ)及nb=12132logna,得132nbn令1320n则6.5n∴当16n时,0nb,当7n时,0nb∴当6n时,nS有最大值,636S17.解(1)设拿出球的号码是3的倍数的为事件A,则31)(AP,32)(AP,拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。818)32()31(3341CP,811)31(42P,9121PPP(2)的可能取值为4,2,0,2,4,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8116)32()4(4P;8132)32)(31()2(314CP;8124)32()31()0(2224CP;818)2(P;811)4(P;分布列为P-4-20248116813281248188114381148182812408132)2(81164E18.解:(Ⅰ)当1a时,底面ABCD为正方形,BDAC又因为BDPA,BD面PAC…………………………3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又PC面PACBDPC…………………………4分(Ⅱ)因为APADAB,,两两垂直,分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,如图所示,令1AB,可得BCa则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(PaCaDB…………………5分设mBQ,则)0)(0,,1(ammQ要使QDPQ,只要0)(1mamQDPQ即210mam………7分由02a,此时1m。所以BC边上有且只有一个点Q,使得QDPQ时,Q为BC的中点,且2a…………………………9分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设面PQD的法向量)1,,(yxp则00pQDpDP即0120yyx解得)1,21,21(p…………………………11分yABQDCPxz取平面PAD的法向量)0,0,1(q则qp.的大小与二面角QPDA的大小相等所以66.cosqpqpqpw.w.w.k.s.5.u.c.o.m因此二面角QPDA的余弦值为66…………………………13分19.(1)由已知.184,611dada解得.4,21da.244)1(2nnan………………4分(2)由于nnbT211,①令n=1,得.21111bb解得321b,当2n时,11211nnbT②①-②得nnnbbb21211,.311nnbb又0321b,.311nnbb∴数列}{nb是以32为首项,31为公比的等比数列.……………………8分(3)由(2)可得.32nnb……9分nnnnnnnbac3)12(432)24(………10分.3)1(163)12(43)12(4111nnnnnnnncc1n,故.01nncc.1nncc……………………14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20.(Ⅰ)xxxfln)(,xxxxf111)(……1分∴当10x时,/()0fx,此时()fx单调递减当ex1时,/()0fx,此时()fx单调递增……3分∴()fx的极小值为1)1(f……4分(Ⅱ)()fx的极小值为1,即()fx在],0(e上的最小值为1,∴0)(xf,min()1fx……5分令21ln21)()(xxxgxh,xxxhln1)(,……6分当ex0时,0)(xh,()hx在],0(e上单调递增……7分∴minmax|)(|12121211)()(xfeehxhw.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在(1)的条件下,1()()2fxgx……9分(Ⅲ)假设存在实数a,使xaxxfln)((],0(ex)有最小值3,/1()fxaxxax1…①当0a时,)(xf在],0(e上单调递减,31)()(minaeefxf,ea4(舍去),所以,此时)(xf无最小值.……10分②当ea10时,)(xf在)1,0(a上单调递减,在],1(ea上单调递增3ln1)1()(minaafxf,2ea,满足条件.……12分③当ea1时,)(xf在],0(e上单调递减,31)()(minaeefxf,ea4(舍去),所以,此时)(xf无最小值.……13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上,存在实数2ea,使得当],0(ex时()fx有最小值3.……14分

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