北京市海淀区2010届高三上学期期中考试数学（文科）试题

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(文科)2009.11本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第II卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题共40分)注意事项：1.答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2.选择题的每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集}6,5,4,3,2,1{U集合6,4,3,1A,6,5,4,2B,则UABa?等于()A.3,1B.5,2C.4D.2.函数2()23fxxx的定义域是()A.[1,3)B.[1,3]C.(1,3)D.(,1][3,)3.下列函数中,在),0(上为减函数的是()A.xy3B.xy1C.xyD.xy21log4.命题“0x，都有02xx”的否定是（）A.0x，使得02xxB.0x，使得02xxC.0x，都有02xxD.0x，都有02xx5．已知向量a（1，k），b（2，1），若a与b的夹角大小为90，则实数k的值为A．12B．12C．2D．26.函数2()(sincos)+cos2fxxxx的最小正周期为（）A.4B.3C.2D.7.函数xxfxsin)21()(在区间[0,2]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.48.已知可导函数fx的导函数)('xf的部分图象如右图所示,则函数)1(xf的部分图象可能是()海淀区高三年级第一学期期中练习数学(文科)2009.11第II卷(共110分)注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若点(2,2)在幂函数)(xfy的图象上，则()fx.10.已知43)tan(且是第四象限角,则sin____.11.若114log,13log22ba,则ba,的大小为_______.12.设nS是等差数列na的前n项和,已知486,2aa,则当___n时,nS取最小值.13.把函数sin(2)6yx的图象向左平移(0)个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值是.14.已知可导函数()yfx满足(2)()fxfx,函数()yfx的图象在点(1,(1)f)处的切线方程为21yx,则'(1)f，函数()yfx的图象在点(3,(3))f处的切线方程为.题号一二三总分(15)(16)(17)(18)(19)(20)分数三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本题满分13分)已知函数()2xfx，(0)x，图象如图所示.函数2()2gxxxa，(0)x，其图象经过点A(1,2).(I)求实数a的值,并在所给直角坐标系xOy内做出函数()gx的图象；(II)设(),0,()(),0,fxxhxgxx，根据()hx的图象写出其单调区间.yxO123-3-2-145678-112316.(本题满分13分)在假期社会实践活动中,小明参观了某博物馆,博物馆的正厅有一幅壁画.刚进入大厅时,他在点A处发现看壁画顶端点C的仰角大小为54,往正前方走4米后，在点B处发现看壁画顶端点C的仰角大小为75.(I)求BC的长；(II)若小明身高为1.70米,求这幅壁画顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中31.732）..17.(本题满分14分)已知等差数列}{na满足,53a且3225aa.又数列}{nb中,31b且031nnbb（n=1,2,3,…）.(I)求数列}{na,}{nb的通项公式;(II)若ijab，则称ia（或jb）是}{na,}{nb的公共项.①求出数列}{na,}{nb的前4个公共项;②从数列}{na的前100项中将数列}{na与}{nb的公共项去掉后,求剩下所有项的和.18.(本题满分13分)已知函数baxxxxf23)(.(I)当1a时,求函数)(xf的单调区间；(II)若函数)(xf的图象与直线axy只有一个公共点,求实数b的取值范围.19.(本题满分13分)已知数列na的前n项和为nS,且满足n2nnaS,(1,2,3,.....)n(I)求321,,aaa的值;(II)求证:数列}1{na是等比数列；(III)若nnbna,求数列nb的前n项和nT.20.(本题满分14分)设集合M是满足下列条件的函数)(xf的集合：①)(xf的定义域为R；②存在ab,使)(xf在,a,,b上分别单调递增,在,ab上单调递减.(I)设12fxxx,322()33fxxxx,判断)(),(21xfxf是否在集合M中,并说明理由；(II)求证：对任意的实数t，2()1xtfxx都在集合M中；（Ⅲ）是否存在可导函数fx,使得fx与gxfxx都在集合M中,并且有相同的单调区间？请说明理由.海淀区高三第一学期期中练习数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号（1）（2）（3）(4)(5)(6)(7)(8)答案ABDBCDBA二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9)x（10）53（11）ba（12）6或7(少一个扣2分)（13）12（14）2，23yx三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（共13分）解:(I)因为)(xg的图象经过点A)2,1(，代入解得1a………3分图象（略）………7分(II)函数()hx的单调增区间为)1,(，(0,)………9分函数()hx的单调减区间为)0,1(………13分16.（共13分）解:(I)在ABC中,45,75,CABDBC又则754530ACB………2分由正弦定理得到,sin45sin30BCAB,………4分将AB=4代入上式,得到42BC（米）………6分(II)在CBD中,90CDB,42BC,所以75sin24DC………8分因为30sin45cos30cos45sin)3045sin(75sin,得到42675sin,………10分则322DC,………11分所以3.70233.703.4647.16DE（米）………12分答：BC的长为42米；壁画顶端点C离地面的高度为7.16米….…13分17.（共14分）解：（I）设na的公差为d，则有3)(2452111dadada………2分解得211da，所以12nan………4分又因为031nnbb，所以13nnbb，因为,31b所以,0nb所以31nnbb，所以}{nb是首项为3，公比为3的等比数列，所以nnnb3331………6分（II）计算可得前4个公共项为81,27,9,3………8分（III）因为199100a，而24381100a，所以}{na前100项中包含4个公共项，………10分又}{na的前n项和为nS，10000199...31100S……12分则数列}{na的前100项中，将数列}{na与}{nb的公共项去掉后,剩下所有项的和为100001209880………14分18.（共13分）解：（I）2'()321(31)(1)fxxxxx……2分令0)('xf，解得131xx或令0)('xf，解得311x……4分所以)(xf的单调递增区间为),31(),1,(，)(xf的单调递减区间为)31,1(……6分（II）因为函数)(xf的图象与直线axy只有一个公共点，所以方程320xxaxbax只有一个解，即023bxx只有一个解……7分令bxxxg23)(，则其图象和x轴只有一个交点，2'()32gxxx，令2'()320gxxx，所以32,021xx，……8分可列表：x2(,)3232(,0)30(0,)'()gx＋0－0＋()gx极大值b274极小值b所以，)(xg在01x处取得极小值b，在322x取得极大值b274，……10分要使bxxxg23)(的其图象和x轴只有一个交点，只要02740bb或02740bb，……12分解得0b或274b……13分19.（共13分）解：（I）因为n2nnaS，令1n，解得,11a……1分再分别令3,2nn，解得233,7aa……3分（II）因为naSnn2，所以)1(211naSnn，(1,)nnN两个代数式相减得到121nnaa……5分所以）（1211nnaa，(1,)nnN又因为211a，所以}1{na构成首项为2，公比为2的等比数列………7分（III）因为}1{na构成首项为2，公比为2的等比数列所以nna21，所以12nna……8分因为nnnab，所以nnbnn2所以)...21(22)1(......2322211321nnnTnnn令1231122232...(1)22(1)nnnHnn23412122232...(1)22(2)nnnHnn123111212(1)(2)222...222(1)2212nnnnnnHnnn（）得：因此12)1(2nnnH……11分所以.2)1(2)1(21nnnTnn……13分20．（共14分）解：(I)12fxxx在集合M中.……1分因为2122,22,2xxxfxxxx,其定义域为R，且由函数1()fx图象知:函数1()fx在(,1),(2,)上分别单调递增,在(1,2)上单调递减,故12fxxx在集合M中……2分)(2xf不在集合M中.……3分因为322()33,fxxxx2222'()3633(21)3(1)0fxxxxxx所以2()fx在R上是增函数，故)(2xf不在集合M中.……4分(II)因为2()1xtfxx的定义域为R，所以222222(1)()221'()(1)(1)xxtxxtxfxxx……6分因为0)1(22x，所以：当,0122txx即22(,1)(1,)xtttt时，0)('xf；当,0122txx即22(1,1)xtttt时，0)('xf，因此)(xf在22(,1),(1,)tttt上单调递增，在22(1,1)tttt上单调递减.可知Mxf)(.……9分（Ⅲ）不存在可导函数fx，使得fx与gxfxx都在集合M中.……10分假设函数fx满足条件,则由题意可得x,aa,abb,bfx↗↘↗fx+00+那么111110gagafaafaafa这与gxfxx在,a上单调递增矛盾.……14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.