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第三章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝2x－1的零点是0，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断[答案]D[解析]如图(1)和(2)都满足题设条件．3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()A．－1B．0C．－1和0D．1和0[答案]C[解析]由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]B[解析]∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0∴f(x)在(1,2)内必有零点．5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，①如果不超过200元，则不予优惠．②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是()A．413.7元B．513.6元C．546.6元D．548.7元[答案]C[解析]两次购物标价款：168＋4230.9＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．7．(08·山东文)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11[答案]A[解析]令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图象可知，函数f(x)为增函数，∴a1，又当x＝0时，－1f(0)0，∴－1logab0，∴a－1b1，故选A.8．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(3)＝3B．P(5)＝1C．P(2003)P(2005)D．P(2007)P(2008)[答案]D[解析]机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403，P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401，∴P(2003)P(2005)正确．又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403，P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404，∴P(2007)P(2008)错误．9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2xB．y＝4－4x＋1C．y＝log3(x＋1)D．y＝x13(x≥0)[答案]B[解析]由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表.x－3－2－1012345…y－24－1006860－10－24…则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是()A．(－10，－1)∪(1＋∞)B．(－∞，－1)∪(3＋∞)C．(－1,3)D．(0，＋∞)[答案]C[解析]由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是()A．m＞1B．0＜m＜1C．m＞0D．m＞2[答案]A[解析]方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x＞1时恰有一实根；③当0＜x＜1时恰有一实根；④当－1＜x＜0时恰有一实根；⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[答案]①⑤[解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．[答案]3[解析]如图，设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，当x3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，∴f(x)＝9x≤36＋xx3，∵工程所用总天数f(x)＝9，∴x≤3，∴x最大值为3.15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．[答案](－14，14)[解析]由条件知a×12＝4k＋1＝4∴a＝4k＝3由y＝4x2y＝3x＋1得，y＝－14y＝14或x＝1y＝4.16．已知函数f(x)＝3x(x≤0)log9x(x＞0)，则方程f(x)＝13的解为________．[答案]－1或39.[解析]由条件知3x＝13x≤0或log9x＝13x＞0∴x＝－1或x＝39三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)方程x2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．[解析]不存在，因为当x＜0时，－1x＞0∴x2－1x＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－1x＝0.18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析]设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD.)试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．[解析]由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则fA(x)＝980≤x≤60，310x＋80x60.fB(x)＝1680≤x≤500，310x＋18x500.(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为fB(n＋1)－fB(n)(n500)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3(元)．∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x)fB(x)，当x500时，fA(x)fB(x)，∴当60x≤500时，由fA(x)fB(x)，得x8803，即当通话时间在(8803，＋∞)内时，方案B较A优惠．20．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．(1)方程两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1.[解析]设f(x)＝x2－2ax＋2＋a(1)∵两根都大于1，∴Δ＝4a2－4(2＋a)0a1f(1)＝3－a0，解得2a3.(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f(1)0∴a3.21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析]设过滤n次，则2100·23n≤11000即23n≤120，∴n≥lg120lg23＝1＋lg2lg3－lg2≈7.4又∵n∈N，∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．22．(本题满分14分)若二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．[分析]先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m的取值范围．[解析]线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组x＋y＝3(0≤x≤3)①y＝－x2＋mx－1②在[0,3]上有两组实数解．将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根．令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，故有：Δ＝(m＋1)2－16＞0，0＜m＋12＜3，f(0)＝4＞0，f(3)＝9－3(m＋1)＋4≥0，解得3＜m≤103.故m的取值范围是(3，103]．[点评]本题可能会出现下面的错解，令f(x)＝－x2＋mx－1.∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段ABx＋y＝3(0≤x≤3)如图，要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足．f(3)≤0f(m2)＞3－m20＜m2＜3，∴m≤103m＜－17－1或m＞17－10＜m＜6，∴无解．错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价．