福建省莆田一中2011期中考试高三数学理科

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莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把所选项前的字母填在题后的括号内.1.“24xkkZ”是“tan1x”成立的()A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.2.为了得到函数xy2cos的图象,可以将函数62sinxy的图象()A.向右平移6B.向右平移3C.向左平移6D.向左平移33.积分2112()exdxx的值是()A.1B.eC.e+1D.e24.定义运算,12112xaababbab例如:,则的取值范围是()A.(0,1)B.(,1)C.(0,1]D.[1,+)5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=x1B.y=2-xC.y=lgxx11D.y=-|x|6.函数1fxInxx的零点所在的区间是()A0,1B1,eC,3eD3,7.若2,3AB则22coscosAB的最小值和最大值分别为()33133312.1,.,.1,1.,122222222ABCD8.点0,02xMabyxy在由不等式组确定的平面区域内,则点Nabab,所在平面区域的面积是()A.1B.2C.4D.89.设命题P:函数f(x)=axx(a0)在区间(1,2)上单调递增;命题Q:不等式|x-1|-|x+2|4a对任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命题,“P且Q”是假命题,则实数a的取值范围是()A.43a≤1B.43≤a1C.0a≤43或a1D.0a43或a≥110.若关于x的不等式x2<2﹣∣x﹣a∣至少有一个负解,则参数a的取值范围为()A(-45,2)B(-49,2)C(-47,2)D.(-47,3)第Ⅱ卷(填空题和解答题,11小题,共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填写在题中横线上..11.给出下面的3个命题:(1)函数|)3x2sin(|y的最小正周期是2;(2)函数)23xsin(y在区间)23,[上单调递增;(3)45x是函数)25x2sin(y的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是.12.平面向量,ab的夹角为060,(2,0),||1,|2|abab则13、若函数)2||,0)(sin()(xxf的图象(部分)如图所示,则,。14.已知函数3()3,fxxxxR,若0,2时,不等式(cos23)(42cos)0ffmm恒成立,则实数m的取值范围是15.已知函数()fx对任意的xR∈都有(1)(1)fxfx,函数1()2fx是奇函数,当01x≤≤时,()21fxx,则方程1()3fx在区间[3,4]内的所有根的和等于_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数2sincoscos2fxxxx(xR).(1)当x取什么值时,函数fx取得最大值,并求其最大值;(2)若为锐角,且283f,求tan的值.17.(本小题满分13分)已知mR,设P:不等式2560mm;Q:函数6)34()(23xmmxxxf在(,)上有极值,求使PQ为真命题的m的取值范围。19.(本题满分13分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处,已知AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO、BO、OP,设排污管道的总长为ykm。(1)按下列要求写出函数关系式:①设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式;②设OP=x(km),将y表示成x的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。BCDAOP莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)答案一选择题二填空题:11、①②12.2313.12614.422m15.113三解答题:16.小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:2sincoscos2fxxxxsin2cos2xx……1分222sin2cos222xx……2分2sin24x.……4分∴当2242xk,即(8xkkZ)时,函数fx取得最大值,其值为2.…6分(2)解法1:∵283f,∴22sin223.……7分∴1cos23.……8分∵为锐角,即02,∴02.∴222sin21cos23.……9分∴sin2tan222cos2.∴22tan221tan.10分∴22tantan20.∴2tan1tan20.∴2tan2或tan2(不合题意,舍去)……12分12345678910ADDCCBBCCB∴2tan2.……13分解法2:∵283f,∴22sin223.∴1cos23.∴212cos13.……8分∵为锐角,即02,∴6cos3.……10分∴23sin1cos3.……11分∴sin2tancos2.……13分17、由已知不等式得1m或6m………………………………2分对1m或6m时,P是正确的…4分对函数6)34()(23xmmxxxf求导3423)('2mmxxxf……6分令0)('xf,即034232mmxx当且仅当0时,函数f(x)在(-,+)上有极值…………8分由0161242mm得1m或4m,………………9分因为,当1m或4m时,Q是正确的……………………11分综上,使PQ为真命题时,实数m的取值范围为(-,-1)6,……13分19.(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=(rad),则10coscosAQOA,故10cosOB,又OP=1010tan,所以10101010tancoscosyOAOBOP,所求函数关系式为2010sin10cosy04………………………4分②若OP=x(km),则OQ=10-x,所以OAOB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx………………8分(Ⅱ)选择函数模型①,'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12,因为04,所以=6,当0,6时,'0y,y是的减函数;当,64时,'0y,y是的增函数,所以当=6时,min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边1033km处。…………………………………13分21.又0,2x2sinxx成立.故存在最小的正整数2k,使()fx是为[0,]2上的“2阶收缩函数”.………6分(2)2()3632gxxxxx,令'()0gx得0x或2x.函数gx,'()gx的变化情况如下:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y’-0+0-y减极小增极大减……………………7分ⅰ)2b时,()gx在[0,]b上单调递增,因此,322()3gxgxxx,1()00gxg.因为32()3gxxx是[0,]b上的2阶收缩函数,所以,①21()20gxgxx对[0,]xb恒成立;②存在0,xb,使得21()0gxgxx成立.…………8分①即:3232xxx对[0,]xb恒成立,由3232xxx,解得:01x或2x,要使3232xxx对[0,]xb恒成立,需且只需01b.……………10分综合ⅰ)ⅱ)可得:3512b.……………14分注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用32只是因为简单而已.

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