福建师大附中2009—2010学年高三第一学期期中考试数学理

1福建师大附中2009—2010学年高三第一学期期中考试数学试题（理科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若全集}1|{},0|{,xxBxxARU，则)Cu(BA（）A．}10|{xxB．}10|{xxC．}0|{xxD．}1|{xx2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）x50x105x1510x2015xy2345A．]5,2[B．}5,4,3,2{C．]20,0(D．N3．函数)22lg(122xxxy的定义域为（）A．]4,3[B．]4,1(C．]4,23()23,1(D．]4,23()23,3[4．函数)112lg(xy的图象关于（）对称．（）A．直线y=xB．x轴C．y轴D．原点5．已知函数)0,0()sin(2xxf，且函数的图象如图所示，则点),(的坐标是（）．A．)3,2(B．)3,4(C．)32,2(D．)32,4(2-2324245xyo26．由直线12x，x=2，曲线1yx及x轴所围图形的面积为（）A．154B．174C．1ln22D．2ln27．函数xysin和xytan的图象在2,2上交点的个数是（）A．3B．5C．7D．98．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数()dfl的图象大致是（）9．已知p：不等式022mxx的解集为R；q：指数函数xmxf41为增函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件10．若函数32()35fxxxm最多有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．5mB．1mC．51mm或D．15m11．定义在R上的函数()fx满足()fx=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx,则(2009)f的值为（）A．1B．0C．－1D．212．已知函数①xxfln3)(；②xexfcos3)(；③xexf3)(；④xxfcos3)(.其中对于)(xf定义域内的任意一个自变量1x都存在唯一的自变量)()(,212xfxfx使=3成立的函数是（）A．③B．②③C．①②④D．④二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共30分，答案填在答卷上）13．已知数列｛an｝的前n项和2231nSnn，则该数列的通项an=____________14．已知关于x的不等式11axx＜0的解集是1(,1)(,)2.则a.15.已知实数xy，满足3102xyxyx，则yxz32的最小值是316．函数xxycossin的单调递减区间是17．已知函数()'()cossin,4fxfxx则()4f的值为.18．三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面三个结论：①函数f(x)的值域为(－1,1)②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)③若规定f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立.你认为上述三个结论中正确的有（请填上所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．（本小题满分12分）已知函数2()sincos2xfxxa，其中a为常数，aR，且2x是方程0)(xf的解。（I）求函数()fx的最小正周期；（II）当],0[x时，求函数)(xf值域.20．（本小题满分12分）已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.421．（本小题满分12分）已知函数()1axfxbx，点1,12是该函数图象的对称中心（Ⅰ）求函数)(xf的表达式；（Ⅱ）求过点（2，0）且与函数图象相切的直线方程.22．（本小题满分10分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，060BCD，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,ABCD的长，可使建造这个支架的成本最低？BACD地面523．（本小题满分１4分）设函数()2lnqfxpxxx，且()2pfeqee，其中e是自然对数的底数.（Ⅰ）求p与q的关系；（Ⅱ）若()fx在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅲ）设2()egxx，若在1,e上至少存在一点0x，使得0()fx＞0()gx成立，求实数p的取值范围.参考答案1—12BBCDDDBCACAA613．0(1)45(2)nnann14．-215．916．,()42kkkZ17．118．①②③19．解：（I）2()sincos0224fa，则1102a，解得2a-----------------------3分所以2()sin2cossincos12xfxxxx，则()2sin()14fxx--------------------------------5分所以函数()fx的最小正周期为2.…………………………6分（I）由[0,]x，得3[,]444x，则2sin()[,1]42x，-----------------------------------10分则2sin()[1,2]4x，2sin()14x[2,21]所以()yfx值域为[2,21]……………………………………12分20．解：（Ⅰ）()fx的定义域为0(，+)，…………1分()fx的导数()1lnfxx.………………3分令()0fx，解得1ex；令()0fx，解得10ex.从而()fx在10e，单调递减，在1e，+单调递增.………………5分所以，当1ex时，()fx取得最小值1e.…………………………6分（Ⅱ）：依题意，得()1fxax在[1)，上恒成立，即不等式1lnaxx对于[1)x，恒成立.……………………8分令1()lngxxx，则21111()1gxxxxx.……………………10分当1x时，因为11()10gxxx，7故()gx是(1)，上的增函数，所以()gx的最小值是(1)1g，…………13分所以a的取值范围是(1]，.…………………………………………14分21．（Ⅰ）2()21xfxx（Ⅱ）24yx和294xy22．解：设(1,4),.BCamaCDbm连结BD.则在CDB中，2221()2cos60.2bbaab214.1aba21422.1abaaa设2.81,10.4,2tat则21(1)3422(1)347,4tbatttt等号成立时0.50.4,1.5,4.tab答：当3,4ABmCDm时，建造这个支架的成本最低.23．解：（1）由题意得()2ln2qpfepeeqeee…………1分1()()0pqee而10ee，所以p．q的关系为pq…………3分（2）由（1）知()2ln2lnqpfxpxxpxxxx，2'2222()ppxxpfxpxxx…………4分令2()2hxpxxp，要使()fx在其定义域(0,)内是单调函数，只需()hx在(0,)内满足：()0()0hxhx或恒成立.…………5分①当0p时，()2hxx，因为x＞0，所以()hx＜0，'22()xfxx＜0，∴()fx在(0,)内是单调递减函数，即0p适合题意；…………6分②当p＞0时，2()2hxpxxp，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,)xp，∴min1()hxpp，只需10pp，即'1()0,()0phxfx时，BACD地面8∴()fx在(0,)内为单调递增函数，故1p适合题意.…………7分③当p＜0时，2()2hxpxxp，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1(0,)xp，只要(0)0h，即0p时，()0hx在(0,)恒成立，故p＜0适合题意.综上所述，p的取值范围为10pp或.……………………9分（3）∵2()egxx在1,e上是减函数，∴xe时，min()2gx；1x时，max()2gxe，即()2,2gxe，…10分①当0p时，由（2）知()fx在1,e上递减max()(1)0fxf＜2，不合题意；……………………11分②当0＜p＜1时，由11,0xexx，又由（2）知当1p时，()fx在1,e上是增函数，∴1111()()2ln2ln2ln2fxpxxxxeeexxee＜2，不合题意；……………………12分③当1p时，由（2）知()fx在1,e上是增函数，(1)0f＜2，又()gx在1,e上是减函数，故只需max()fx＞min()gx，1,xe，而max1()()()2lnfxfepeee，min()2gx，即1()2lnpeee＞2，解得p＞241ee，综上，p的取值范围是24()1ee，.……………………14分