福建师大附中2012-2013年高一上数学期末试题及答案

福建师大附中2012—2013学年度上学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第1卷共100分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.下列条件中，能使//的条件是（*****）A.平面内有无数条直线平行于平面B.平面与平面同平行于一条直线C.平面内有两条直线平行于平面D.平面内有两条相交直线平行于平面2、直线10xy的倾斜角与在y轴上的截距分别是（*****）A.135°，1B.45°，－1C.45°，1D.135°，－13、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（*****）Ａ．１条Ｂ．２条Ｃ．３条Ｄ．１或２条4、已知直线1:0laxya，2:(23)0laxaya互相平行，则a的值是（*****）A．3B1C．1或3D．05、设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（*****）A．若,l，则lB．若//,//l，则lC．若,//l，则lD．若//,l，则l6、已知点(,)Mab在直线1543yx上，则22ba的最小值为（*****）A．2B．3C．154D．57、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为2，则原梯形的面积为（*****）A．2B．2C．22D．48、若(2,1)P为圆22(1)25xy的弦AB的中点，则直线AB的方程为（****）A．30xyB．230xyC．10xyD．250xy9、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（*****）命题人：黄晓滨审核人：江泽Oyx450A．27B．56πC．14πD．64π10、已知圆1C：2(1)x+2(1)y=1，圆2C与圆1C关于直线10xy对称，则圆2C的方程为（*****）A．2(2)x+2(2)y=1B．2(2)x+2(2)y=1C．2(2)x+2(2)y=1D．2(2)x+2(1)y=111、点(,)Mxy是圆222(0)xyaa内不为圆心的一点，则直线2xxyya与该圆的位置关系是（*****）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交12、如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且12EF，则下列结论中错误的是（*****）A．AC，BE为异面直线，且ACBEB．//EFABCD平面C．三棱锥ABEF的体积为定值D．AEFBEF的面积与的面积相等二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13、过点(,4)(1,)AaBa和的直线的倾斜角等于45，则a的值是_******_14、直线,31kykx当k变化时，所有直线都通过定点_******_15、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_******_16、两平行线12:10:30lxylxy与间的距离是_******_17、集合22222{(,)|4},{(,)|(3)(4)}AxyxyBxyxyr，其中0r，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_******_18、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角ABCD的度数为60；④AB与CD所成的角是60°。其中正确结论的序号是_******_三、解答题：（本大题共6题，满分60分）19．（本小题满分8分）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．20．（本小题满分10分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3)，点D是线段AB上的动点。（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．21．（本小题満分12分）_12cm_4cmPDCC1B1D1A1如图，长方体1111DCBAABCD中，1ADAB，21AA，点P为1DD的中点．（1）求证：直线1BD∥平面PAC；（2）求证：平面PAC平面11BDDB；（3）求CP与平面11BDDB所成的角大小．22、（本小题满分10分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成。已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m。（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。23、（本小题満分10分）如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。ABCDOE·24、(本小题满分10分)已知圆222261040(04)xyaxayaaa的圆心为C,直线L：yxm。(1)若2a,求直线L被圆C所截得的弦长AB的最大值；(2)若2m,求直线L被圆C所截得的弦长AB的最大值；(3)若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围。25、附加题.（10分）设M点是圆22:(4)4Cxy上的动点，过点M作圆22:1Oxy的两条切线，切点分别为,AB,切线,MAMB分别交x轴于,DE两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵．坐标；若不存在，说明理由．参考答案第1卷共100分一、选择题：DDCAC;BDACA;CD二、填空题：13、32;14、（3，1）;15、1;16、217、3或718、①②④三、解答题：19．（本小题满分8分）解：由图可知33314141284()23233VRcm半球；2231141264()33Vrhcm圆锥；因为圆锥半球VV，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．（本小题满分10分）_12cm_4cmPDCBAC1B1D1A1AB30//==3103()3(2)MB43E2FABCOC(1)ABOCAB所在直线的斜率kkAB所在直线的方程是y-0=x-3即x-y-9=0方法一：设线段CA、CB的中点分别是点E、F，由题意可知，点的轨迹是的中位线EF.由平行四边形的性质得点的坐标是(，），1+33+03由中点坐标公式可得点的坐标是(,),即(,)，222同理点的3(),6290,(2x)B43MCD13,22xyxy00001+43+35坐标是(,),即(,3),2223线段EF的方程是y-x-225即2方法二：设点M的坐标是(x,y)，点D的坐标是(x,y)由平行四边形的性质得点的坐标是(，），是线段的中点xy021,2333x3(21)236290,2xxyDABxyxy0000于是有xy点在线段上运动x-y-9=0,(4)-()-9=0,5即()221．（本题満分12分）（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是1DD，BD的中点，故PO//1BD，∵PO平面PAC,BD平面PAC所以直线1BD∥平面PAC（2）长方体1111DCBAABCD中，1ADAB，底面ABCD是正方形，则ACBD又1DD面ABCD，则1DDAC，∵BD平面11BDDB,1DD平面11BDDB，1BDDDD∴AC面11BDDB∵AC平面PAC∴平面PAC平面11BDDB（3）由（2）已证：AC面11BDDB∴CP在平面11BDDB内的射影为OP∴CPO是CP与平面11BDDB所成的角,依题意得222CPCDDP,1222COAC,在Rt△CPO中，12COCP,∴CPO=30o∴CP与平面11BDDB所成的角为30o22.（本小题满分10分）23、（本小题満分10分）（1）证明：⊿ABD中∵AB=AD=2，O是BD中点，BD=2∴AO⊥BD且22AOABBO=1⊿BCD中，连结OC∵BC=DC=2∴CO⊥BD且223COBCBOABCDOE·222EFMN1mE(-33,0)F(33,0)M(0,3),(x-0)+(y-b)F(33,0)M(0,3)xyr(1)以所在直线为轴，以所在直线为轴，以为单位长度建立直角坐标系。则有，，由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为，都在2222222(33)+b0+(3-b)336rrbr圆上，解得，22x+(y+3)36EFMN1mxy所以圆的方程是以所在直线为轴，以所在直线为轴，以为单位长度建立直角坐标系。设所求圆的圆心为G，半径为r,则点G在y轴上222|OE|=33|GE|=|OG|=-3,=33+-3=6在RtGOE中，，r，r则由勾股定理，r（）（r），解得r则圆心G的坐标为(0,-3),22x+(y+3)36CPADP圆的方程是(2)设限高为h,作，交圆弧于点，则|22P+(y+3)36y=2,CP|=h+0.5。将点的横坐标x=11代入圆的方程，得11，得或y=-8(舍)所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m)答：车辆的限制高度为3.5m。⊿AOC中AO=1，CO=3，AC=2∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO∴AO⊥平面BCD（2）取AC中点F，连结OF、OE、EF⊿ABC中E、F分别为BC、AC中点∴EF∥AB，且1222EFAB⊿BCD中O、E分别为BD、BC中点∴OE∥CD且112OECD∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）又OF是Rt⊿AOC斜边上的中线∴112OFAC∴等腰⊿OEF中122cos4EFOEFOE24、(本小题满分10分)解：圆C的方程可化为(x-a)2+(y-3a)2=4a∴圆心为C（a,3a）,半径为r=2a（1）若a=2，则c(2,6),r=22,∵弦AB过圆心时最长，∴ABmax=42（2）若m=2，则圆心C（a,3a）到直线x-y+2=0的距离d=22212aa,r=2a直线与圆相交，2,41004,(23,23)draaaa且又AB=26)2(2228222222aaadr，∴当a=2时，ABmax=26，（3）圆心C（a,3a）到直线x-y+m=0的距离d=22maABCDOE·FOEFM∵直线L是圆心C的切线，∴d=r,222maa,222maa∴m=2a±22a∵直线L是圆心C下方,∴m=2a-2a2=(a2-1)2-1∵(0,4]a，∴当a=21时,mmin=-1;当a=4时，,mmax=8-42，故实数m的取值范围是[-1,8-42]附加题.（10分）设M点是圆22:(4)4Cxy上的动点，过点M作圆22:1Oxy的两条切线，切点分别为,AB,切线,MAMB分别交x轴于,DE两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵．坐标；若不存在，说明理由．解：设存在点00(,)Mxy满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：00()yykxx则由题意得，002||11kxyk，化简得：2220000(1)210xkxyky设直线,MAMB的斜率分别为12,kk，则20001212220021,11xyykkkkxx圆C在点M处的切线方程为0000()4xyyxxy令0y，得切线与x轴的交点坐标为200004(,0)y