高级中学2010—2011学年高三数学每三次测试理科试卷

-1-深圳高级中学2010—2011学年第一学期高三第三次考试数学（理科）试题一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）1．若集合A=|1xxxR，，2B=|yyxxR，，则AB=（）A.|11xxB.|0xxC.|01xxD.2．设a,b为实数，若复数ibiai121（i为虚数单位），则（）A．31,22abB．3,1abC．13,22abD．1,3ab3．下列说法中,不正确．．．的是（）A．“xy”是“xy”的必要不充分条件；B．命题:pxR，sin1x≤，则:pxR，sin1x；C．命题“若,xy都是偶数，则xy是偶数”的否命题是“若,xy不是偶数，则xy不是偶数”；D．命题:p所有有理数都是实数,:q正数的对数都是负数，则()()pq为真命题.4．若316sin，则232cos=（）A．97B．31C．31D．975.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱6．已知点nA（n，na）（nN*）都在函数xya（01aa，）的图象上，则37aa与52a的大小关系是A．37aa＞52aB．37aa＜52aC．37aa＝52aD．37aa与52a的大小与a有关7．若函数2441()431xxfxxxx，≤，，，则关于x的方程xxf2log)(解的个数是A．4B．3C．2D．18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,babOBaOA其中-2-若10,且baOC，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是二．填空题（本大题共7小题，只做6小题。其中第9－13题为必做题，第14、15题为选做题，只能做其中的一题，做两个的，按得分最低的一道记分。每小题5分，满分30分）（一）必做题：9．已知a是实常数，且6()axx展开式中常数项等于－20，，则展开式中各项系数的和等于．10．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为3m．11．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）．12．某地区为了解7080岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为．13．定义运算yx)()(yxyyxx，若|1||1|mmm，则实数m的取值范围是（二）选做题：（只能做其中的一题，做两个的，按得分最低的一道记分）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ2π）中，曲线ρ=2sin与cos1p的交点的极坐标为______．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC序号i分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08开始S0输入Gi，Fii1SS＋Gi·Fii≥5ii＋1NY输出S结束-3-相交于点P，若PB1PC1=,=PA2PD3,则BCAD的值为三．解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1ba23)(Af,求角C..17．（本小题满分12分）对某班学生是更喜欢体育还是更喜欢文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如右图，（Ⅰ）根据图中数据，制作2×2列联表；（Ⅱ）若要从更喜欢体育的学生中随机选3人，组成体育爱好者交流小组，去外校参观学习，求小组中含女生人数的分布列和期望；18．（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AEEB12CFCPFAPB（如图1）.将△AEF沿EF折起到EFA1的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的余弦值.051015202530男生女生体育文娱图1图2ＥＢＰＣＦ1AAPFECBＤ-4-19.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xfxaxxx，其中0a若()fx在x=1处取得极值，求a的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m求()fx的单调区间；（Ⅲ）若()fx的最小值为1，求a的取值范围。20．（本小题满分14分）已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xyx相切．过点4,0P作斜率为14的直线l，使得l和G交于,AB两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC．（Ⅰ）求双曲线G的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线G的方程；（Ⅲ）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．21.（本题满分14分）已知函数**(),,yfxxyNN，满足：①对任意,,,21*21xxNxx都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx；②对任意*nN都有[()]3ffnn.（Ⅰ）试证明：)(xf为*N上的单调增函数；（Ⅱ）求)28()6()1(fff；（Ⅲ）令*(3),nnafnN，试证明：121111424nnnaaa≤-5-深圳高级中学2010—2011学年第一学期高三第三次考试数学（理科）试题参考答案一．选择题：题号12345678答案CACABABA二．填空题：9．010．411．108012．6．4213．21m14．6615．3(2,)4三．解答题：16．解:（1）1cos()2sincossinsin2fxxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscossinxxsin()x因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以()sin()cos2fxxx（2）因为23)(Af,所以3cos2A,因为角A为ABC的内角,所以6A.又因为,2,1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.17．解：（Ⅰ）更爱好体育更爱好文娱合计男生151025女生51015合计202040（Ⅱ）（理）设所选3人小组中含女生人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3-6-031251551533202021305155153320209110535()(1)2282287630521(2)(3)22838228114CCCCPkPCCCCCCPPCC∴所求分布列为ξ0123P9122835765381114∴女生人数ξ的数学期望为9135513012322876381144E18.解不妨设正三角形ABC的边长为3，则（1）在图1中，取BE中点D，连结DF，则∵12AECFCPEBFAPB,∴2AFAD而060A，即△ADF是正三角形又∵1AEED,∴EFAD∴在图2中有1AEEF,BEEF,∴1AEB为二面角1AEFB的平面角∵二面角1AEFB为直二面角,∴1AEBE又∵BEEFE,∴1AE⊥平面BEF,即1AE⊥平面BEP.（2）由（1）问可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A1（0，0，1）B（2，0，0），F（0，0，3）.在图１中，不难得到ＥF//ＤP且ＥF＝ＤP；ＤＥ//FP且ＤＥ＝FP故点Ｐ的坐标Ｐ（1，3，0）∴1(2,0,1)AB，(1,3,0)BP，1(0,0,1)EA不妨设平面A1BP的法向量1(,,)nxyz，则1112030ABnxzBPnxy令3y得1(3,3,6)n∴11111163cos,2||||143nEAnEAnEA故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为3.-7-（3）由（2）问可知平面A1BP的法向量1(3,3,6)n，1(0,3,1)AF，(1,0,0)FP设平面AEP的法向量2(,,)nxyz，则121300AFnyzBPnx令3y得2(0,3,3)n故121212217cos,8||||4323nnnnnn显然二面角B－A1P－F为钝角故二面角B－A1P－F的余弦值为87.19．解（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx∵()fx在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,faa即解得1.a（Ⅱ）222'(),(1)(1)axafxaxx∵0,0,xa∴10.ax①当2a时，在区间(0,)'()0,fx上，∴()fx的单调增区间为(0,).②当02a时，由22'()0,'()0,aafxxfxxaa解得由解得∴()),aafxaa2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.（Ⅲ）当2a时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;fxf的最小值为当02a时，由（Ⅱ）②知，()fx在2axa处取得最小值2()(0)1,affa综上可知，若()fx得最小值为1，则a的取值范围是[2,).20.解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆2210200xyx相切可得：2551kk．-8-所以，12k．双曲线G的渐近线的方程为：12yx．（2）由（1）可设双曲线G的方程为：224xym．把直线l的方程144yx代入双曲线方程，整理得2381640xxm．则8164,33ABABmxxxx（＊）∵2PAPBPC，,,,PABC共线且P在线段AB上，∴2PABPPCxxxxxx，即：4416BAxx，整理得：4320ABABxxxx将（＊）代入上式可解得：28m．所以，双曲线的方程为221287xy．（3）由题可设椭圆S的方程为：22212728xyaa．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为1122,,,MxyNxy，MN的中点为00,Pxy，则2211222222128128xyaxya．两式作差得：121212122028xxx