广东省佛山一中2012届高三上学期期中考试（数学理）

广东省佛山一中2012届高三上学期期中考试试题数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{},{}xAxxBxx，则BA=A.{}xxB.{}xxC.{}xxD.{}xx2．下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是A．1ab＞B．1ab＞C．22ab＞D．33ab＞3.已知函数)0(2)0(log)(2xxxxfx，若21)(af，则实数a的值为A．－1B.2C．－1或2D．1或2-4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为A．12B．8C．6D．45．函数y＝ln1|2x－3|的大致图象为()6．在平行四边形ABCD中，AE→＝13AB→，AF→＝14AD→，CE与BF相交于G点．若AB→＝a，AD→＝b，则AG→＝A.27a＋17bB.27a＋37bC.37a＋17bD.47a＋27b7.设,xy满足约束条件04312xyxxy，则221yx的最大值是A.5B.6C.8D.108．函数11xyx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于A．2B．4C．6D．8二.填空题：本大题共6小题，考生做答6小题，每小题5分,共30分．（一）必做题（9～12题）9．不等式212xx的解集为.10．若62axx展开式的常数项为60，则常数a的值为.11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（1,3），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且CcAbBasincoscos，则角B＝.12．已知8,0,0abbaba，，则ba的最小值是.13．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是是_______.（填写真命题的序号）（二）选做题：（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为3)6sin(，点)3,2(A到曲线C上点的距离的最小值．15.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的大小为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)在ABC中，内角,,ABC所对的边长分别是,,abc,已知4A，4cos5B.（I）求cosC的值；（II）若10,BCD为AB的中点，求CD的长.17．(本题满分12分)已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10图乙图甲DNCBMABDCNMA（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列12nna的前n项和.18.(本题满分14分)如图甲，直角梯形ABCD中，//ABCD，2DAB，点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，2BC，4MB，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）.（Ⅰ）求证：//AB平面DNC；（Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角DBCN的大小为30？19.（(本题满分14分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为2141，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过四小时。（Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；20.(本题满分14分)已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点F与抛物线24yx的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为2，倾斜角为45的直线l过点F.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F，问抛物线xy42上是否存在一点M，使得M与1F关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.21．（本题满分14分）设函数)1ln()(2xaxxf有两个极值点12xx、，且12xx.（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）求)(2xf的取值范围。佛山一中2012届高三数学上学期期中考试试题答案一．选择题：BACBACDB二．填空题：9．}11|{xx.10．4；11．6π；12．4；13．①②④14．215.99三．解答题：16．（满分12分）解：（1）4cos,5B且(0,)B，∴23sin1cos5BB．…2分∴3coscos()cos()4CABB…………………4分332423coscossinsin442525BB210．…………………6分（2）由（1）可得2227sin1cos1()21010CC．………………8分由正弦定理得sinsinBCABAC，即10722102AB，解得14AB．………………10分在BCD中，7BD，22247102710375CD，∴37CD…………………12分16．（满分12分）解;(Ⅰ)设等差数列}{na的公差为d，由已知条件可得10122011dada2分解得111da4分故数列}{na的通项公式为nan25分（Ⅱ）设数列12nna的前n项和为nS，即12122nnnaaaS①故11S6分nnnaaaS242221②当n≥2时①-②得nnnnnnaaaaaaS2222111218分nnn22)212121(112nnn22)211(111012nn所以12nnnS综上，数列12nna的前n项和为12nnnS.12分17.（满分14分）17.法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB//平面DNC.…………………2分同理MA//平面DNC，又MAMB=M,且MA,MB平面MAB.MAB//NCDAB//DNCABMAB平面平面平面平面.(6分)（Ⅱ）过N作NHBC交BC延长线于H，连HN，平面AMND平面MNCB，DNMN,…………………8分zCBMANxyDDN平面MBCN，从而DHBC,DHN为二面角D-BC-N的平面角.DHN=o30…………………10分由MB=4，BC=2，MCB90知MBC60º，42cos603CN.NH3sin60º=233…………………12分由条件知：DN333333tanNHD,DNNH.NH33232…………………14分解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系.Nxyz易得NC=3，MN=3，设DNa，则D(0,0,a),C(0,3,0),B(3,4,0),M(3,0,0),A(3,0,a).（I）(0,0,),(0,3,0),(0,4,)NDaNCABa.44(0,0,)(0,3,0)33ABaNDNC，∵,NDNCDNCNDNCN平面，且，∴AB与平面DNC共面，又ABDNC平面，//ABDNC平面.(6分)（II）设平面DBC的法向量1n(,,)xyz，(0,3,),(3,1,0)DCaCB则113030DCnyazCBnxy，令1x，则3y，33za∴1n33(1,3,)a.（8分）又平面NBC的法向量2n(0,0,1).（9分）cos121212nnn,n|n||n|2333a.227131a…………………12分即：22627913,a,a4a又3a0,a.2即3DN.2…………………14分18.解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为8121411P，…………………2分付2元为8141212P，付4元为16141413P…………………4分则所付费用相同的概率为165221PPPP……………6分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416PPPPP…………………10分分布列02468P185165163161165591784822E…………………14分19(满分14分)解：（1）抛物线xy42的焦点为)0,1(F，准线方程为1x，……………2分∴122ba①…………………3分又椭圆截抛物线的准线1x所得弦长为2，∴得上交点为)22,1(，∴121122ba②…………………4分由①代入②得01224bb，解得12b或212b（舍去），从而2122ba…………………6分∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121xy…………………7分（2）∵倾斜角为45的直线l过点F，∴直线l的方程为)1(45tanxy，即1xy，…………………8分由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1F，设),(00yxM与1F关于直线l对称，…………9分则得12)1(2011100000xyxy……10分解得2100yx，即)2,1(M………11分又)2,1(M满足xy42，故点M在抛物线上。…………………13分所以抛物线xy42上存在一点)2,1(M，使得M与1F关于直线l对称。……14分20．(满分14分)解:（I）2222(1)11axxafxxxxx令2()22gxxxa，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程()0gx的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为480(1)0aga，得102a…………………2分⑴当1(1,)xx时，0,()fxfx在1(1,)x内为增函数；…………………4分⑵当12(,)xxx时，0,()fxfx在12(,)xx内为减函数；⑶当2,()xx时，0,()fxfx在2,()x内为增函数；……………6分（II）由（I）21(0)0,02gax，222(2)axx+222222222221(2)1fxxalnxxxxlnx+2设221(22)1()2hxxxxlnxx，…………………8分则22(21)122(21)1hxxxlnxxxlnx…………………10分⑴当1(,0)2x时，0,()hxhx在1[,0)2单调递增；⑵当(0,)x时，0hx，()hx在(0,)单调递减。…………………12分1112ln2(,0),()224xhxh当时故22122()4Infxhx．…………………14分