广东省执信中学2010-2011学年高三第一学期期中考试（数学）

-1-执信中学2010-2011学年度第一学期高三级数学（理）科期中考试试卷试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。考试用时120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设全集U是实数集,R22,Mxxx或,2430Nxxx,则图中阴影部分所表示的集合是（※）A.{|21}xxB.{|22}xxC.{|12}xxD.{|2}xx2、若复数(2)zii的虚部是（※）A.1B.2iC.2D.23、某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（※）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、204、已知直线m，n和平面α，那么m∥n的一个必要但非充分条件是（※）A.m∥α，n∥αB.m⊥α，n⊥αC.m∥α且nαD.m，n与α成等角5、设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（※）A.±4B.±22C.±2D.±26、在公差不为零的等差数列{}na中，23711220aaa，数列{}nb是等比数列，且77ba，则68bb=（※）A．2B.4C.8D.16（第1题图）甲乙798078557911133462202310140-2-7．已知双曲线2213xy，以右焦点为圆心的圆与渐近线相切切，则圆的方程是（※）A．22(2)3xyB．22(2)1xyC．22(2)3xyD．22(2)1xy8.若函数2()2lnfxxx在其定义域内的一个子区间(1,1)kk内不是．．单调函数，则实数k的取值范围是（※）A．[1,)B．3(1,)2C．(1,2)D．3[1,)2第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知向量a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，X)共面，则X10．若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是11．体积为8的正方体，其全面积是球表面积的两倍，则球的体积是12．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，则选择甲线路的旅游团数的期望是13．观察下列等式:212(1)1xxxx,22234(1)1232xxxxxx,2323456(1)136763xxxxxxxx,242345678(1)1410161916104xxxxxxxxxx,由以上等式推测:对于nN,若2220122(1)nnnxxaaxaxax,则2a.选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C的参数方程为2sincosxy（为参数），曲线2C的参数方程为12tytx（t为参数），则两条曲线的交点是15．（几何证明选讲选做题）如图,⊙O和⊙'O都经过A、B两点，AC是⊙'O的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙'O于点D，若BC=2，BD=6，则AB的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数2()32sin2cos()cos(02)2fxxxx的图象过点(,22)16（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）写出函数)(xf的图象是由函数)(4sin2Rxxy的图象经过怎样的变换得到的。17．（本小题满分12分）-3-在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且满足274sincos222BCA．（I）求角A的度数；（II）求bca的取值范围．18．（本小题满分14分）如图所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=8，AC=27，PB=10，F是线段PB上一点，245CF，点E在线段AB上，且EF⊥PB.（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的正弦值19．(本题满分14分)已知函数bxaxxxf232131，Rba,，xf'是函数xf的导函数．（I）若1ab，求函数xf的单调递减区间；（II）若11a，11b，求方程0'xf有实数根的概率．20.（本小题满分14分）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）研究函数()fx的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有0)(xf，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln33ln22ln2222222nNnnnnnn21．（本题满分14分）已知抛物线24yx及点(2,2)P，直线l斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A、B两点.（Ⅰ）求直线l在y轴上截距的取值范围；（Ⅱ）若AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD、BC交于定点.-4-2010-2011学年度第一学期高三级数学（理）科期中试题答案一、选择题：ACADDDBD二、填空题：9、5a；10、2；11、43；12、34；13、12nn；14、（0,1）和（-2,0）；15、32三、解答题：16．解：1()3(1cos2)2sincos2cos2sin222sin(2)4fxxxxxxx（）……3分∵函数()fx的图像或点(,22)16，则2222sin(2)164……4分∴sin()184……5分2,842kkZ，……7分∵02,02k时，，∴()22sin(4)4fxx……8分（II）由xy4sin2的图象先向左平移16个单位，……10分再向上平移2个单位得到f(x)的图象……12分17．解：（I）2721cos2cos12AA，……4分∴24cos4cos10AA解得1cos2A，……6分∵0A3A．……8分（II）2sinsinsinsin32sinsin6sin3BBbcBCBaA，……10分20,3B,5,666B,∴1sin()126B∴1,2bca……12分18．（I）证明：∵2226436100PCCBPB∴PCCB……2分∴PB边上的高=8624105ACCBPB,……4分又∵245CF,∴CFPB……6分又EF⊥PB,∴PB⊥平面CEF……8分（2）∵PB⊥平面CEF且CE平面CEF∴CEPBPACBFEF1-5-∵222362864PAACPC∴PAAC又∵2223664100PAABPB,∴PAAB,∵ABACA∴PA⊥平面ABC，由CE平面ABC，∴CEPA∵PAPBP，∴CE平面PAB……11分∴EF平面PAB，∴CEEF，CEEB，故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角……12分∵EF⊥PB,PB⊥AB∴84sincos105ABFEBFBEPB……14分二面角B—CE—F的正弦值是4519．解：（１）由bxaxxxf232131得baxxxf2'＝12aaxx＝)1)(1(axx……2分令0)(xf得11x；ax12……3分①若a11，即2a时，令'0fx解得11xa．此时函数xf的减区间是1,1a…5分②若a11，即2a时，令'0fx解得11ax，此时函数xf的减区间是(1,1)a…7分③若11a，即2a时，2()(1)0fxx，函数xf在R上单调递增，没有减区间…8分（2）方程0'xf，即02baxx有实数根，则0，即ba42，…10分若11a，11b，方程0'xf有实数根的条件是baba411112（※）…11分满足不等式组的区域如图所示，条件（※）的面积为：6132111214)1(431121121adxadaaS…13分而条件11a，11b的面积为4S，所以，方程0'xf有实数根的概率为24131SSP…14分20、解：（I）),0()(,1ln)(的定义域为xfpxxxf，…1分xpxpxxf11)(…………2分当),0()(,0)(0在时，xfxfp上无极值点…………4分当p0时，令1()0(0,),()()fxxfxfxxp，、随的变化情况如下表：x(0，1p)1p1(,)p+?'()fx+0－()fx↗极大值↘-6-从上表可以看出：当p0时，()fx有唯一的极大值点1xp………………7分（Ⅱ）当p0时在1x=p处取得极大值11()lnfpp=，…8分此极大值也是最大值，要使()0fx£恒成立，只需11()ln0fpp=?，…9分∴1p³，即p的取值范围为[1，+∞)…………………10分（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1ln,01lnnNnxxxx，∴1ln22nn，∴22222ln111nnnnn…………11分∴222222222ln2ln3ln111(1)(1)(1)2323nnn222111(1)()23nn…12分111(1)()2334(1)nnn111111(1)()23341nnn21121(1)()212(1)nnnnn,∴结论成立…………………14分另解：设函数lnxyx，则/21lnxyx，令/0y，解得xe，则ln1lnxexee∴222222ln2ln3ln111123nnneeee=2212(1)nnn2(1)(21)nen=2212(1)nnn（1121en2212(1)nnn21、解:(Ⅰ)设直线l的方程为:(0)yxbb,由于直线不过点P,因此0b………1分由xybxy42得0)42(22bxbx,…………3分由0,解得1b……………5分所以直线l在y轴上截距的取值范围是,0(0,1)……6分（Ⅱ）设A,B坐标分别为22,,44mnmn、…………7分由xybxy42消去x得2440yyb，∴144bmnmnb…………8分设D点坐标为2,4DDyy,因为B,P,D共线，所以DPPBkk,由题意2,2mn得822Dnyn=22mm，………9分直线AD的方程为222()444DDymmymxym，…10分即224(2)()4mmymxm∴224(2)20mxmym，………………………