广东省中山纪念中学2010届第一次月考数学试题

广东省中山纪念中学2010届第一次月考数学试题1．已知集合M是函数)1lg(xy的定义域，集合RxeyyNx,|(e为自然对数的底数），则=（）A.B.C.D.2．已知，若)23)(1(iai为纯虚数，则的值为（）A.23B.23C.32D.323．若是的三边，直线0cbyax与圆122yx相离，则一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4．设为两个不重合的平面，nml,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若②若③若④其中真命题的序号是（）A.①③④B.①②③C.①③D.②④5．若规定bcaddcba则不等式0111logx的解集是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（-∞，2）D．（-∞，3）6．两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线122byax的离心率为（）A．B．C．D．与7．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为s＝132，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．正(主)视图左(侧)视图俯视图8．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（）A.6万元B.8万元C.10万元D.12万元9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．23B．2C．3D．410．设P为双曲线x2-122y=1上的一点，F1、F2是双曲线的焦点，若|PF1|:|PF2|=3:2，则△PF1F2的面积为()A．63B．12C．123D．2411.=____________12.如果直线过定点且与抛物线有且仅有一个公共点，那么直线的方程为___________13.已知向量则其中若,),(),2,4(),3,1(Rababa___________。14.（1）．(坐标系与参数方程选做题）曲线sincosyx(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是___________．（2）．．(几何证明选讲选做题）如右图，⊙'O和⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙'O于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3,NQ＝15，则PN＝___________．15.（本小题满分12分）设ABCV的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3,5,14abc===.（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）求的值.16.（本小题满分12分）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图图1时间频率/组距09101112140.050.100.150.200.250.300.350.4013OO'MQPNBA56sin()3cos2CC如图所示。（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分；（Ⅱ）假设在［90，100］段的学生的数学成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在［90，100］段的两个学生的数学成绩的概率。17.（本小题满分14分）正方体1111ABCD-ABCD，1AA=2，E为棱1CC的中点．(Ⅰ)求证：11BDAE；(Ⅱ)求证：//AC平面1BDE；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．18.（本小题满分14分）设等差数列{}na的前n项和为nS，且12nnnSnaac（c是常数，nÎN*），26a=.（Ⅰ）求c的值及{}na的通项公式；（Ⅱ）证明：1223111118nnaaaaaa++++L.A1D1C1B1AEDCB19.（本小题满分14分）已知椭圆C22:14yx，过点M(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设点1(0,)2N，求||NANB的最大值.20．(本小题满分14分)已知函数321()(sin)22fxaxxxc的图象过点37(1,)6，且在[2,1)内单调递减，在[1,)上单调递增.（1）求()fx的解析式；（2）若对于任意的12,[,3](0)xxmmm，不等式1245|()()|2fxfx恒成立，试问这样的m是否存在.若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由；广东省中山纪念中学2010届第一次月考数学试题答案CACCADACBB1/4x=1或,4x-y-2=01/523515.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由余弦定理222cos2abcCab+-=，得925142cos2353C+-==创.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cos0C,所以角C为锐角，所以25sin1cos3CC=-=，则256sin()56(sincoscossin)333cos22cos1CCCCC512356()32324219183.所以56sin()3183cos2CC.16、解：（1）利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595ffffff┉┉┉┉┉┉┉┉2分＝450.05550.15650.2750.3850.25950.05┉┉┉4分＝72所以，估计这次考试的平均分是72分。┉┉┉┉┉┉┉┉5分（2）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果有：（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100）（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）（97，98），（97，99），（97，100），（98，99），（98，100），（99，100）共15种结果。┉┉┉┉┉┉┉┉7分如果这两个数恰好是两个学生的成绩，则这两个学生的成绩在［90，100］段，而［90，100］段的人数是0.005×10×80＝4（人）┉┉┉┉┉┉┉┉8分不妨设这4个人的成绩是95，96，97，98，则事件A＝“2个数恰好是两个学生的成绩”，包括的基本结果有：（95，96），（95，97），（95，98），（96，97），（96，98），（97，98）共6种基本结果。┉┉┉┉┉┉┉┉10分∴P(A)＝62155。┉┉┉┉┉┉┉┉12分17．解：(Ⅰ)证明：连结BD，则BD//11BD，∵ABCD是正方形，∴ACBD．∵CE面ABCD，∴CEBD．又CACCE，∴BD面ACE．∵AE面ACE，∴BDAE，∴11BDAE．（Ⅱ）证明：作1BB的中点F，连结AFCFEF、、．∵EF、是1BB1CC、的中点，∴CE1BF，∴四边形1BFCE是平行四边形，∴1CF//BE．∵,EF是1BB1CC、的中点，∴//EFBC，又//BCAD，∴//EFAD．∴四边形ADEF是平行四边形，AF//ED，∵AFCFC，1BEEDE，∴平面//ACF面1BDE．又AC平面ACF，∴//AC面1BDE．（3）122ABDSABAD．112333ABDEEABDABDABDVVSCESCE．18.（Ⅰ）解：因为12nnnSnaac，所以当1n=时，11112Saac，解得12ac=，当2n=时，222Saac，即1222aaac，解得23ac=，所以36c，解得2c；则14a，数列{}na的公差212daa，所以1(1)22naandn.（Ⅱ）因为12231111nnaaaaaa++++L1114668(22)(24)nn=+++创++L111111111()()()24626822224nn=-+-++-++L1111111[()()()]246682224nn=-+-++-++L111()2424n=-+1184(2)n=-+.因为*NnÎ，所以1223111118nnaaaaaa++++L.19.（Ⅰ）解：设A(x1,y1)，因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以1102y，解得11y，-------------------------1分又因为点A(x1,y1)在椭圆C上，所以221114yx，即21114x，解得132x，则点A的坐标为3(,1)2或3(,1)2，所以直线l的方程为43330xy，或43330xy.（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则112211(,),(,),22NAxyNBxy所以1212(,1)NANBxxyy，则221212||()(1)NANBxxyy，当直线AB的斜率当直线AB的斜率不存在时，其方程为0x，(0,2),(0,2)AB，此时||1NANB；当直线AB的斜率存在时，设其方程为1ykx，由题设可得A、B的坐标是方程组22114ykxyx的解，消去y得22(4)230kxkx，所以221222(2)12(4)0,4kkkxxk，则121228(1)(1)4yykxkxk，所以222222222812||()(1)1144(4)kkNANBkkk，当0k时，等号成立,即此时||NANB取得最大值1.综上，当直线AB的方程为0x或1y时，||NANB有最大值1.20.解：（1）∵2)(sin3)(2xaxxf，由题设可知：0)2(0)1(ff即02sin21202sin3aasinθ≥1∴sinθ=1.…4分从而a=13,∴f(x)=13x3+12x2－2x+c,而又由f(1)=376得c=223.∴f(x)=13x3+12x2－2x+223即为所求.…6分(2)由2)(2xxxf=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.…8分①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m)由f(m+3)－f(m)=13(m+3)3+12(m+3)2－2(m+3)－13m3－12m2+2m=3m2+12m+152≤452，得－5≤m≤1.这与条件矛盾，故…10分②当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递增,在[1,m+3]上递增∴f(x)min=f(1),f(x)max=max{f(m),f(m+3)},又f(m+3)－f(m)=3m2+12m+152=3(m+2)2－92＞0(0≤m≤1)∴f(x)max=f(m+3)∴|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min=f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)=452恒成立.…12分故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.综上，存在m且m∈[0,1]合题意.…13分