张家界市第一中学高三（理科）第五次月考数学

张家界市第一中学高三第五次月考数学（理）试卷时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{||1|2},{|03}AxxBxx，则AB等于()A．{|03}xxB．{|13}xxC．{|3}xxD．2．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现用分层抽样的方法抽取样本，已知抽取的高一学生数为8，则每个学生被抽到的概率为（）A．2001B．1001C．501D．2013．以下有关命题的说法错误的是（）A．在平面上，到两定点的距离的和（大于两定点间的距离）等于定长的点的轨迹是椭圆。B．“1x”是“0232xx”的充分不必要条件C．若qp为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题01,:,01:22xxRxpxxRxp均有则使得4．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是()A．12B．22C．23D．65．如图所示的是函数dcxbxxxf23)(的大致图象，则2221xx等于（）A．32B．34C．38D．3166．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为)]1,0(,,[cbac，已知他投篮一次得分的期望是2，则ba312的最小值为（）A．332B．328C．314D．3167．过双曲线224xy的右顶点，且与直线320xy相切的面积最小的圆的方程()A．2233()()122xyB．2233()()122xyC．2233()()122xyD．2233()()422xy8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，则数列的第2010项2010a是（）A．20101010aB．20101110aC．2010110aD.201010a二、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,）9．在某项测量中，测量结果服从正态分布)0)(,1(2N，若在在（0，1）内取值的概率为0.4，111主视图侧视图112俯视图则在（0，2）内的取值概率为.10．复数512i（i是虚数单位）的模等于．11．如图所示的程序框图，若输入5n，则输出的n值为．12．二项式61(3)xx的展开式中常数项的值是。13．不等式3x213xaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为。14．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cossin20，则它与曲线sincos1sin2xy（为参数）的交点的直角坐标是．15．如图所示，O点在△ABC内部，D、E分别是AC，BC边的中点，且有OCOBOA32=0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为。三、解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设向量3,3OA，(cos,sin)OB，其中02．（1）若13AB，求tan的值；（2）求△AOB面积的最大值．17．（本小题满分12分）已知两点(1,0)M、(1,0)N，点P为坐标平面内的动点，满足||||MNNPMNMP．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若点,4At是动点P的轨迹上的一点，(,0)Km是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆22(2)4xy的位置关系．开始2nn结束nfxxf（x）在（0，+∞）上单调递减？输出n是否输入n18．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，11ADAA，2AB．（1）证明：当点E在棱AB上移动时，11DEAD；（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角1DECD的平面角为4？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分13分）福布斯2009年中国富豪榜发布后，有人认为中国富豪受益于活跃的股票市场，得益于强劲的资本市场。股票有风险应考虑中长期投资，若某股票上市时间能持续15年，预测上市初期和后期会因供求及市场前景分析使价格呈连续上涨态势，而中期有将出现供大于求使价格连续下跌。现有三种价格随发行年数x的模拟函数：2()();()()log;()()(1)()xqAfxpqBfxxpCfxxxqp（以上三式中,pq均为常数，且2q）。（）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？为什么？（）若(1)4,(3)6,ff（1）求出所选函数()fx的解析式；（2）一般散户为保证个人的收益，通常考虑打算在价格下跌期间出股票，请问他们会在哪几个年份出售？ABCE1AA1B1CA1DAD20．（本小题满分13分）设nS为数列na的前n项和，对任意的nN*，都有1nnSmmam(为常数，且0)m．（1）求证：数列na是等比数列；（2）设数列na的公比mfq，数列nb满足1112,nnbabfb(2n，nN*)，求数列nb的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列2nb的前n项和8918nT．21．（本小题满分13分）已知()fx，()gx都是定义在R上的函数，如果存在实数,mn使得()()()hxmfxngx，那么称()hx为()fx，()gx在R上生成的一个函数。设2(),fxxax()gxxb（,abR），2()231lxxx，()hx为()fx，()gx在R上生成的一个二次函数。(1)设1,2,ab若()hx为偶函数，求(2)h；(2)设0,b若()hx同时也是()lx，()gx为在R上生成的一个函数，求ab的最小值；(3)试判断()hx能否为任意的一个二次函数，并证明。①②张家界市第一中学高三第五次月考数学（理）试卷参考答案及评分标准1—8ABCC，CDAB8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234．设2010a位于第n组，由(1)(1)201022nnnn，解得63n，所以2010a位于第63组中的第63622010572项，故2010757a，选B．9．0.8；10．10；11．1；12．540；13．(,1][4,)；14．1,115．因为D，E分别是AC，BC边的中点，则,4)(2,2OEOCOBODOCOA由①+②得0)2(232OEODOCOBOA，即,共线与OEOD|,|2||OEOD且由此可得APCAEC与在边AC上的高的比为3：216．（1）解：依题意得，cos3,sin3ABOBOA，所以222cos3sin3AB136cos23sin13，所以3sin3cos．因为cos0，所以tan3．………6分（2）解：由02，得6AOB．…………………8分所以1sin2AOBSOAOBAOB1231sin3sin266，所以当3时，△AOB的面积取得最大值3．………………………………12分17．（1）解：设(,)Pxy，则(2,0)MN，(1,)NPxy，(1,)MPxy．…………2分由||||MNNPMNMP，得222(1)2(1)xyx，化简得24yx．所以动点P的轨迹方程为24yx．……………………5分（2）解：由点,4At在轨迹24yx上，则244t，解得4t，即4,4A．当4m时，直线AK的方程为4x，此时直线AK与圆22(2)4xy相离．当4m时，直线AK的方程为4()4yxmm，即4(4)40xmym，圆心(0,2)到直线AK的距离22816(4)mdm，令228216(4)mdm，解得1m；令228216(4)mdm，解得1m；令228216(4)mdm，解得1m．综上所述，当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相交；当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相切；当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相离．…………………12分18．解：方法1：以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0D，0,2,0C，11,0,1A，10,0,1D；设0(1,,0)Ey002y．……2分（1）证明：∵101,,1DEy，11,0,1AD．则1101,,11,0,10DEADy，∴11DEAD，即11DEAD．……………………4分（2）解：当23AE时，二面角1DECD的平面角为4．∵0(1,2,0)ECy，10,2,1DC，设平面1DEC的法向量为1(,,)xyzn，则10110(2)0200ECxyyyzDCnn，取1y，则102,1,2yn是平面1DEC的一个法向量．…………………………8分而平面ECD的一个法向量为20,0,1n，……………………………………9分要使二面角1DECD的平面角为4，则121222212022coscos42(2)12ynnn,nnn，解得023y002y．∴当23AE时，二面角1DECD的平面角为4．……12分方法2：（1）证明：连结1AD，在长方体1111ABCDABCD中，∵BA平面11ADDA，1AD平面11ADDA，∴1ADAE．∵11ADAA，则四边形11ADDA是正方形，∴11ADAD．∵1AEADA，∴1AD平面1ADE．∵1DE平面1ADE，∴11DEAD．…………………4分（2）解：当23AE时，二面角1DECD的平面角为4．连结DE，过D作DHEC交EC于点H，连结1DH在长方体1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，EC平面ABCD，∴1DDEC．∵1DHDDD，∴EC平面1DDH．∵1DH平面1DDH，∴EC1DH．∴1DHD为二面角1DECD的平面角，即14DHD．…………………8分设AEx02x，则2EBx，进而212ECx．在△DEC中，利用面积相等的关系有，ECDHCDAD，∴2212DHx．HABCE1AA1B1CA1DADxyz在Rt△1DDH中，∵14DHD，∴1tan4DDDH．∴21(2)12x，解得23x02x，此时，二面角1DECD的平面角为4．19．解：（1）因为()xfxpq是单调函数；()logqfxxp也是单调函数；在2()(1)()fxxxqp中，22()3(42)2,fxxqxqq令2()0,,3qfxxqx得:，所以函数()fx有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以因选2()(1)()fxxxqp为其价格模拟函数。…………………6分（2）由(1)4,(3)6,ff得4,4,pq（其中2q舍去），所以32()92412(115,)fxxxxxxN2()31824024fxxxx，所以()fx在区间（2，4）上单调递减。故他们会在发行的第2，3年出售.…………………13分20．（1）证明：当1n时，