湖南长沙市一中2011届高三第四次月考（数学文）

第1页共13页湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学文）时量：120分钟满分：150分（考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、不等式）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集UR，集合210Axx，则UAð()A．11xxB．11xxx或C．11xxx或D．11xx2．复数zTz13，在复平面内，z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a、b不共线，e1=ka－b，e2=2a+b，若e1//e2，则实数k的值为()A．12kB．2kC．2kD．12k4．一个递增的等差数列{}na，前三项的和12312aaa，且234,,1aaa成等比数列，则数列{}na的公差为()A．2B．3C．2D．15．下列命题为真命题的是()A．ab是11ab的充分条件B．ab是11ab的必要条件C．ab是22ab的充要条件D．0ab是22ab的充分条件6．右图是函数sin()(0,0)yAxA的部分图象，则下列可以作为其解析式的是()A．2sin(2)3yxB．2sin(2)3yxC．22sin(2)3yxD．12sin()23yx32－2x712Oy第2页共13页7．已知411xyyxy，则yxz2的最大值为()A．－7B．211C．－1D．－88．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为na，如515a，则该数列{}na的前n项和nT（n为偶数）为（）A．(1)(21)10nnnnTB．32643nnnnTC32646nnnnTD．(1)(2)6nnnnT243nn二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．三进制数121(3)化为十进制数为．10．已知向量(2,1)a，(3,1)b，若单位向量c满足()cab，则c．11．若1x，则函数1()1fxxx的最小值为．12．右图为定义在zT·i+T上的函数()fx的导函数()fx的大致图象，则函数()fx的单调递增区间为，()fx的极大值点为x．13．111133520092011S．14．若函数()cos2cosfxxax（xR）的最小值为－4，则a的值为．15．已知关于x的一元二次不等式20axbxc在实数集上恒成立，且ab，则xy()yfxO－11234第12题123654789101514131211161718192021………第8题图第3页共13页abcTba的最小值为.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设集合2{|(1)0}Axxaxa，21{|0}2xBxx．（1）当a=3时，求AB；（2）若RABð，求a的取值范围．17．（本小题满分12分）设函数coscos,3fxxxxR.（1）求fx的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；（2）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若0fB，b=1，c=3，求a的值.18.（本小题满分12分）已知{}na为等比数列，11a，前n项和为nS，且6328SS，数列{}nb的前n项和为nT，且点(,)nnT均在抛物线21122yxx上．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）设nnncab，求{}nc的前n项和nS．19．（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？x米a米a米y米第4页共13页20．（本小题满分13分）已知函数21()(1)ln2fxxaxax（1a）．（1）若函数()fx在2x处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；（2）已知函数2()4ln2ln(2)gxxxbb，在（1）的条件下，若()()fxgx恒成立，求b的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数3211()32fxaxbxcx（0a）.（1）若函数)(xf有三个零点分别为123,,xxx，且3321xxx，129xx，求函数)(xf的单调区间；（2）若1(1)2fa，322acb，证明：函数)(xf在区间(0，2)内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数)(xf的两个极值点之间的距离不小于3，求ba的取值范围.参考答案第5页共13页一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集UR，集合210Axx，则UAð(C)A．11xxB．11xxx或C．11xxx或D．11xx2．复数zTz13，在复平面内，z对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a、b不共线，e1=ka－b，e2=2a+b，若e1//e2，则实数k的值为(B)A．12kB．2kC．2kD．12k4．一个递增的等差数列{}na，前三项的和12312aaa，且234,,1aaa成等比数列，则数列{}na的公差为(C)A．2B．3C．2D．15．下列命题为真命题的是(D)A．ab是11ab的充分条件B．ab是11ab的必要条件C．ab是22ab的充要条件D．0ab是22ab的充分条件6．右图是函数sin()(0,0)yAxA的部分图象，则下列可以作为其解析式的是(B)A．2sin(2)3yxB．2sin(2)3yxC．22sin(2)3yxD．12sin()23yx7．已知411xyyxy，则yxz2的最大值为(A)A．－7B．21132－2x712Oy第6页共13页C．－1D．－88．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为na，如515a，则该数列{}na的前n项和nT（n为偶数）为（B）A．(1)(21)10nnnnTB．32643nnnnTC．32646nnnnTD．(1)(2)6nnnnT243nn【解析】方法一：（特值法）因为2T123aa，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为416T，B选项满足，故选B．方法二：因为当n为奇数时，(1)122nnnan，当n为偶数时，11nnaa，故n是偶数时，)1()1()1(113311nnnaaaaaaT121212131naaa2)(2131naaan1234(1)2nnn222(11)(33)[(1)(1)]nn2n2222[135(1)][13(1)]nn2n令222212(1)Snn，2222135(1)An，2222246Bn，22222222123456(1)ABnn第7页共13页1234(1)nn(1)2nn，又(1)(21)6nnnAB，得(1)(21)(1)622nnnnnA(1)(1)6nnn则nT(11)(1)(1)262nnnnn2n22(1)64nnn2n32643nnn．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．三进制数121(3)化为十进制数为16．10．已知向量(2,1)a，(3,1)b，若单位向量c满足()cab，则c(0,1)(0,1)或．11．若1x，则函数1()1fxxx的最小值为3．12．右图为定义在zT·i+T上的函数()fx的导函数()fx的大致图象，则函数()fx的单调递增区间为(1,2),(4,)，()fx的极大值点为x2．13．111133520092011S201112．14．若函数()cos2cosfxxax（xR）的最小值为－4，则a的值为5．15．已知关于x的一元二次不等式20axbxc在实数集上恒成立，且ab，则abcTba的最小值为3.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设集合2{|(1)0}Axxaxa，21{|0}2xBxx．（1）当a=3时，求AB；（2）若RABð，求a的取值范围．【解析】（1）xy()yfxO－11234第12题第8页共13页21{|0}{|(21)(2)0}2xBxxxxx1{|,2}2xxx或………2分当a=3时，{|(3)(1)0}(1,3)Axxx，……………4分AB(2,3)．……………6分（2）因RBð1[,2]2，RABð，122a，∴a的取值范围为1[,2]2．……………12分17．（本小题满分12分）设函数coscos,3fxxxxR.（1）求fx的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；（2）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若0fB，b=1，c=3，求a的值.【解析】（1）cos(coscossinsin)33fxxxx13cossin22xxcos()3x，3分则max1fx，……………4分此时x的取值集合为},23|{Zkkxx，即},32|{Zkkxx．6分（2）fBcos()03B，得6B，………8分由余弦定理，2222cosbacacB，得2221(3)23cos6aa，…10分即2320aa，得1a或2a．……………12分18.（本小题满分12分）已知{}na为等比数列，11a，前n项和为nS，且6328SS，数列{}nb的前n项和为nT，且点(,)nnT均在抛物线21122yxx上．第9页共13页（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）设nnncab，求{}nc的前n项和nS．【解析】（1）因{}na为等比数列，6363311281SqqSq，得3q，得13nna……3分对数列{}nb，因点(,)nnT均在抛物线21122yxx上，则21122nTnn，所以111bT，当2n时，2211111()[(1)(1)]2222nnnbTTnnnnn，…………5分所以nbn（*nN）．……………6分（2）nnncab13nn，nS=01211323333nn，3nS=1211323(1)33nnnn，两式相减，得2nS=0131211313133nnn……………8分=1313n3nn=312n3nn(12)312nn，……