算法、复数、推理与证明

辽宁名校2011届高三数学单元测试—算法、复数、推理与证明注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．学已知复数z满足(13)izi，则z（）A．322iB．322iC．344iD．344i2．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且niim11)1(，则2009)(nimnim等于（）A．iB．iC．1D．13．已知定义在复数集C上的函数()fx满足1(),()(1)()xxfxixxRR，则((1))ffi（）A．2B．0C．3D．22i4．某程序框图如左下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．2()fxxB．1()fxxC．()xfxeD．()sinfxx5．根据右上边程序框图，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为（）A．1B．2C．1或2D．1或26．数列na，已知11a，当2n时121nnaan，依次计算2a、3a、4a后，猜想na的表达式是（）A．32nB．2nC．13nD．43n7．若x是实数，y是纯虚数，且满足iyyix)3()12(，则yix等于（）A．1B．2C．32D．2118．读两段程序：对甲、乙程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是：（）A．42nB．42nC．24nD．33n10．关于x的方程03)12(2imxix有实根，则实数m的值是（）A．41mB．41mC．121mD．121m11．对a、bR，运算“”、“”定义为：ab=,().()aabbab，ab=,().()aabbab，则下列各式其中恒成立的是（）⑴ababab⑵ababab⑶[][]ababab⑷[][]abababA．⑴、⑵、⑶、⑷B．⑴、⑵、⑶C．⑴、⑶D．⑵、⑷12．（2009浙江）10．对于正实数，记M为满足下述条件的函数()fx构成的集合：12,xxR且21xx，有212121()()()()xxfxfxxx．下列结论中正确的是（）A．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMB．若1()fxM，2()gxM，且()0gx，则12()()fxMgxC．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMD．若1()fxM，2()gxM，且12，则12()()fxgxM第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．13．定义：abadbccd，若复数z满足112ziii，则z等于．14．数列}{na的前10项由如图所示的流程图依次输出的a的值构成，则数列}{na的一个通项公式na。15．观察下列等式：1535522CC，1597399922CCC，159131151313131322CCCC，1591317157171717171722CCCCC，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC．16．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数()fx在0,1上有意义,且(0)(1)ff,如果对于不同的12,0,1xx,都有1212()()fxfxxx，求证：121()()2fxfx。那么他的反设应该是___________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知Raa21,，121aa，求证212221aa．证明：构造函数2221)()()(axaxxf，22212222121222)(22)(aaxxaaxaaxxf因为对一切xR，恒有)(xf≥0，所以)(842221aa≤0，从而得212221aa，（1）若Raaan,,,21，121naaa，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．18．（本题满分12分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()fn表示第n幅图的蜂巢总数．（1）试给出(4),(5)ff的值，并求()fn的表达式（不要求证明）；（2）证明：11114(1)(2)(3)()3ffffn．19．（本题满分12分）已知2222:1(0)xyCabab椭圆具有性质：若,MN是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线,PMPN的斜率都存在，并记为,PMPNkk时，那么PMk与PNk之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线22221xyab具有类似特性的性质并加以证明．20．（本题满分12分）已知函数3211()(1)32fxxaxax()aR，函数()'()gxfx（1）判断方程()0gx的零点个数；（2）解关于x的不等式()0gx，并用程序框图表示你的求解过程．21．（本题满分12分）已知函数)(xf是在),0(上每一点均可导的函数，若)()(/xfxxf在0x时恒成立．（1）求证：函数xxfxg)()(在),0(上是增函数；（2）求证：当0,021xx时，有1212()()()fxxfxfx；（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．22．（本题满分14分）已知二次函数2fxaxbxc．（1）若10f，试判断函数fx零点个数；（2）若对12,,xxR且12xx，12fxfx，试证明012,xxx，使01212fxfxfx成立。（3）是否存在,,abcR，使()fx同时满足以下条件①对,(4)(2)xRfxfx，且()0fx；②对xR,都有210()(1)2fxxx。若存在，求出,,abc的值，若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题1．【解析】D由(13)izi得13izi(13)34(13)(13)iiiii,故选D．2．【解析】A由niim11)1(和复数相等的充要条件得11mn，故2009200920091()()1mniiiimnii。3．【解析】C((1))((1)(1))(2)3ffifiif。4．【解析】D满足()()0fxfx的函数()fx可以为奇函数,排除A、C；而函数1()fxx不存在零点,所以选D．5．【解析】D当1x时，若4y，则2x；当110x时，若4y，即314x，则1x；当10x，cos1yx，不可能输出4。6．【解析】B计算出24a，39a，416a猜想2nan，选B．7．【解析】D设)0,(mRmmiy，则immix)3()12(，13m且mx12，解得23x，4m，2114232iyix．故选D．8．【解析】B程序甲是计数变量i从1开始逐步递增直到1000i时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是1231000；程序乙计数变量从1000开始逐步递减到1i时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是10009991．但这两个程序是不同的．两种程序的输出结果都是1231000S=100500．9．【解析】A观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”。或由图可知，当1n时，16,a当2n时，210,a当3n，有314,a由此推测，第n个图案中有白色地面砖的块数是：42nan．10．解析：C设实根为a，则03)12(2imaia，即032maa且012a，121m。11．【解析】C由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案C．12．【解析】C对于212121()()()()xxfxfxxx，即有2121()()fxfxxx，令2121()()fxfxkxx，有k，不妨设1()fxM，2()gxM，即有11,fk22gk，因此有1212fgkk，因此有12()()fxgxM．二、填空题13．【解析】i1根据定义112ziziiii，故1izi，故11izii。14．【解析】2)1(nn这个数列的前10项依次是1,12,123,,12310，故这个数列的一个通项公式是(1)2nnna。15．【解析】4121212nnn这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC4121212nnn．16．【解析】“12,0,1xx，使得1212()()fxfxxx且121()()2fxfx”反设是否定结论，故要保留1212()()fxfxxx，否定121()()2fxfx。三、解答题17．【解析】（1）若Raaan,,,21，121naaa，求证：nnaaa122221；……………………4分（2）证明：构造函数22221)()()()(naxaxaxxf22221212)(2nnaaaxaaanx2222122naaaxnx………………………8分因为对一切xR，都有)(xf≥0，所以△=)(4422221naaan≤0，……10分从而证得：nnaaa122221．……12分18．【解析】（1）(4)37,(5)61.ff由于(2)(1)716,(3)(2)19726,ffff(4)(3)371936,(5)(4)613746,ffff……2分因此，当2n时，有()(1)6(1),fnfnn……3分所以()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)fnfnfnfnfnfff26[(1)(2)21)1331nnnn．……5分又2(1)131311f，所以2()331fnnn．……6分（2）当2k时，22111111()()3313331fkkkkkkk．……9分所以11111111111[(1)()()(1)(2)(3)()32231ffffnnn11141(1)1333n。……12分19．【解析】可以通过横向类比得：若,MN是上述双曲线上关于原点