不等式

辽宁名校2011届高三数学单元测试—不等式注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。1．已知点)0,1(1p，231(11)03PP，，，，)0,0(4p则在132yx≤0表示的平面区域内的点是（）A．2p,4pB．2P，3PC．1P，3PD．1P，2P2．如果关于x的不等式250xa的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是（）A．80≤a125B．80a125C．80aD．a1253．关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集，a的取值范围是（）A．0a1B．a＞1C．0a≤1D．a≥14．若A＝{x∈Z|2≤22-x＜8＝,B={x∈R||log2x|＞1}，则A∩（CRB）的元素个数为（）A．0B．1C．2D．35．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）A．a，b均为负数，则222abbaB．21222xxC．4sin4sinxxD．0)31)(3(,aaRa6．设x为实数，P=ex+e-x，Q=（sinx+cosx）2，则P、Q之间的大小关系是（）A．P≥QB．P≤QC．PQD．PQ7．当x＞1时，不等式11xxa恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（－∞，2）B．[2，＋∞]C．[3，＋∞]D．（－∞，3）8．使不等式a2＞b2，1ba，lg（a－b）＞0，2a＞2b-1＞1同时成立的a、b、1的大小关系是（）A．a＞1＞bB．b＞a＞1C．a＞b＞1D．1＞a＞b9．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2-36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（215,23）B．[2,8]C．[2,8]D．[2,7]10．（09山东理12）设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的是最大值为12，则23ab的最小值为（）A．625B．38C．311D．411．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c（a,b,c∈（0,1）），已知他投篮一次得分的均值为2，213ab的最小值为（）A．323B．283C．143D．16312．已知函数)(xf的定义域为[—2，)，部分对应值如下表，)('xf为)(xf的导函数，函数)('xfy的图象如右图所示：若两正数,ab满足(2)1fab，则33ba的取值范围是（）A．)34,76(B．)37,53(C．)56,32(D．)3,31(第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。13．已知y=f（x）是偶函数,y=g（x）是奇函数,x∈[0,]上的图象如图，则不等式0)()(xgxf的解集是．14．已知向量)1,(ma与)1,1(nb互相垂直,且点（m,n）在第一象限内运动，则nm22loglog的最大值是．—204)(xf1—1115．已知052053052yxyxyx,则z=（x+1）2＋（y+1）2的取值范围是．16．给出下列四个命题：①若a＞b＞0,c＞d＞0，那么cbda；②已知a、b、m都是正数，并且a＜b，则bambma；③若a、b∈R，则a2+b2+5≥2（2a-b）；④2-3x-x4的最大值是2-43．⑤原点与点（2,1）在直线0213xy的异侧．其中正确．．命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共74分）。17．（12分）研究问题：“已知关于x的不等式02cbxax的解集为)2,1(，解关于x的不等式02abxcx”，有如下解法：解：由02cbxax0)1()1(2xcxba，令xy1，则)1,21(y，所以不等式02abxcx的解集为)1,21(．参考上述解法，已知关于x的不等式0cxbxaxk的解集为)3,2()1,2(，求关于x的不等式0111cxbxaxkx的解集．18．（12分）已知函数()fx和()gx的图象关于原点对称，且2()2fxxx．（Ⅰ）求函数()gx的解析式；（Ⅱ）解不等式()()|1|gxfxx．19．（12分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系)87(56198)75()107292(392xxxxxxQ（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．20．（12分）设函数3233fxxbxcx在两个极值点12xx、，且12[10],[1,2].xx，（1）求bc、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点,bc的区域；（2）证明：21102fx21．（12分）已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kR．（1）当k变化时，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，若满足AZB（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．22．（14分）（1）已知：,,abx均是正数，且ab，求证：1axabxb；（2）当,,abx均是正数，且ab，对真分数ab，给出类似上小题的结论，并予以证明；（3）证明：△ABC中，sinsinsin2sinsinsinsinsinsinABCBCCAAB（可直接应用第（1）、（2）小题结论）（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题，并写出证明过程．参考答案一、选择题1．Ｄ解析：将四个点的坐标分别代入不等式组132yx≤0，满足条件的是（-1,0）和（1,1）,选D．2．A解析：250xa，得55aax，而正整数解是1,2,3,4，则4345a5,∴80≤a＜125．3．B解析：．∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1,∴（|x-3|+|x-4|）min=1当a≤1时，|x-3|+|x-4|＜a的解集为，所以a＞1．4．C解析：化简A={x∈Z|21≤22-x23}={x∈Z|1≤2-x＜3＝={x∈Z|-1＜x≤1＝={0，1}B={x∈R||log2x|1}＝{x|log2x＞1或log2x＜-1＝={x|x＞2或0＜x＜21＝∴BCR={x|x≤0或21≤x≤2}．∴A∩BCR＝{0，1}，故选C．5．C．解析：对于C选项中xsin≠±2,不满足“相等”的条件,再者xsin可以取到负值．6．A解析：P=ex+e-x≥2;Q=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x≤2．所以,P≥Q7．D解析：11xxa,由11xx=31111xx,即11xx的最小值为3，故选D．8．C解析：由lg（a－b）0，得ab且a－b1,由2a2b-11得ab-10,所以ab19．C解析：由4[x]2-36[x]+450,得215][23x，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．10．A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而23ab=2323131325()()26666abbaabab,故选A．P(-3,-3)A(0,4)B(2,0)2a+b=-22a+b=4xyP(-3,-3)A(0,4)B(2,0)2a+b=-22a+b=4xyObaO-241-1xy-241-1xy11．D解析：由题意得ba23=2,213ab（213ab）×223ba=3162310)3246(21baab12．B解析：由题意，函数)(xf的图象大致如图，4221)2(babaf004222bababa，则由不等式组所表示的区域如右图所示，33ab的取值范围即区域内的点与)3,3(连线的斜率的取值范围，53,37BPAPkk，故选B。二、填空题：13．]3,0(]3,(解析：利用函数奇偶性画出f（x）、g（x）在[-,]上的图象，如图x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0由0)(0)(0)()(xgxfxgxf或0)(0)(xgxf∴x∈]3,0(]3,(．14．-2解析：由向量)1,(ma与)1,1(nb垂直,有)1,(m·)1,1(n=0,得m+n=1;又m＞0,n＞0，∴nm22loglog=,22log)2(loglog22222nmmn当且仅当21nm时“=”成立．15．[13，41]解析：作出不等式组052053052yxyxyx的可行域如图，由052052yxyx,∴A（1,3）,由053052yxyx,∴B（3，4）,由052053yxyx,∴C（2，1）．设z=（x+l）2+（y+l）2，则它表示可行域内的点到（-1,-1）的距离的平方，所以（-1，-1）到点B的距离最大，到点C的距离最小，所以zmin=13，zmax=41．16．②③⑤解析：①错．例如取a=2，b=1，c＝2，d=1，则有212cbda②正确，由a＜b得，am＜bm，所以am＋ab＜bm＋ab，即bambma③正确，由a2+b2+5-4a+2b=（a-2）2+（b+1）2≥0,得知原式正确．④错,当x＞0时，2-3x-x4的最大值是2-43，当x＜0时，2-3x-x4的最小值为2+43，无最大值．⑤正确，代入验证．三、解答题：17．解:由于不等式0cxbxaxk的解集为)3,2()1,2(，则方程0cxbxaxk=0的根分别为-2,-1,2,3．3分由0111cxbxaxkx,得0111xcxbxak,6分因此,方程0111xcxbxak的根为:31,21,1,2110分∴不等式0111cxbxaxkx的解集:)1,21()31,21(．12分18．解:（Ⅰ）设函数()yfx图象上任意一点,Pxy关于原点的对称点为00,Qxy，则00000,,2.0,2xxxxyyyy即……………………4分由题知点00,Qxy在函数yfx的图象上,∴22222,2yxxyxxgxxx，即故．……………………6分（Ⅱ）由21210gxfxxxx，可得当1x时，2210xx，此时不等式无解当1x时，2210xx，解得112x因此，原不等式的解集为1[1,]2…………………………12分19．解: