广东省梅州中学2012届高三第二次月考（理数）

第1页共12页广东省梅州中学2012届高三第二次月考高三数学（理科）试题本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设UR，{|0}Axx，{|1}Bxx，则UABðA．{|01}xxB．{|01}xxC．{|0}xxD．{|1}xx2．已知3sin4，且在第二象限，那么2在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：21,04xRxx，则命题p的否定p是A．21,04xRxxB．21,04xRxxC．21,04xRxxD．21,04xRxx4．已知3log,2321ba,运算原理如右图所示，则输出的值为A．22B．2C．212D．2125．函数21()logfxxx的零点所在区间为A．10,2B．1,12C．1,2D．2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是结束输出ba1输出ab1否开始是输入ba、ba第2页共12页7．在△OAB中，,OAaOBb，OD是AB边上的高，若ABAD，则实数λ等于A．2||abaabB．2||aababC．||abaabD．||aabab8．已知集合1,2,3,4A，函数fx的定义域、值域都是A，且对于任意iA，fii，设1a，2a，3a，4a是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表12341234aaaafafafafa，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A．216个B．108个C．48个D．24个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．设i为虚数单位，复数z满足i1iz，则z．10．在二项式521xx的展开式中，含4x项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080/100mgmL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mgmL（含80）以上时，属醉酒驾车。据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人.如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为__________.2030405060708090100酒精含量（mg/100mL）0.0150.010.0050.02频率组距11主视图左视图1111B1A1111C11D第3页共12页12．函数214fxxx的最小值是.13．如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）曲线1C：1cossinxy（为参数）上的点到曲线2C：1222(112xttyt为参数）上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图，已知：ABC△内接于O，点D在OC的延长线上，AD是O的切线，若30B，1AC，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数21cos3sincos2fxxxx．（Ⅰ）若0,2x，求fx的最大值及取得最大值时相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若12Af，b=l，4c，求a的值．17．（本题满分13分）已知数列{}na的前n项和为nS，且2nSn．数列{}nb为等比数列，且11b，48b．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nc满足nnbca，求数列{}nc的前n项和nT．ACDBO第4页共12页18．（本题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，//,90,ADBCBADPA底面ABCD，2PAADABBC，,MN分别为,PCPB的中点．（Ⅰ）求证：PBDM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．19．（本小题满分14分）为了让更多的人参与2011年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中34是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．DAPBCMN第5页共12页20．（本小题满分14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点O，焦点为0,1F．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q,满足PFQF，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()ln1fxxpx=-+0p．（Ⅰ）求函数()fx的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（Ⅱ）若对任意的x＞0，恒有0)(xf，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln33ln22ln2222222nNnnnnnn．xyPOQF第20题图第6页共12页高三数学（理科）试题答案本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．BCADCCBA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．1i；10．10；11．75；12．92；13．11122np选做题：14．1；15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数21cos3sincos2fxxxx．（Ⅰ）若0,2x，求fx的最大值及取得最大值时相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若12Af，b=l，4c，求a的值．解：（Ⅰ）21cos3sincos2fxxxx1cos231sin2222xxsin26x．……………4分∵02x，∴72666x，∴1sin2126x，即112fx．∴mn1afx，此时262x，∴6x．……………8分（Ⅱ）∵sin126AfA，在ABC中，∵0A，7666A，∴62A，3A．……………10分又1b，4c，第7页共12页由余弦定理得22241241cos6013a，故13a．…………………………………………………12分17．（本题满分13分）已知数列{}na的前n项和为nS，且2nSn．数列{}nb为等比数列，且11b，48b．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nc满足nnbca，求数列{}nc的前n项和nT．解：（Ⅰ）∵数列{}na的前n项和为nS，且2nSn，∴当2n时，221(1)21nnnaSSnnn．……………2分当1n时，111aS亦满足上式，故21nan（*nN）．……………4分又数列{}nb为等比数列，设公比为q，∵11b，3418bbq，∴2q．……………6分∴12nnb（*nN）．……………8分（Ⅱ）2121nnnbncab．……………10分123nnTcccc12(21)(21)(21)n12(222)nn2(12)12nn．所以122nnTn．………………13分18．（本题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，//,90,ADBCBADPA底面ABCD，2PAADABBC，,MN分别为,PCPB的中点．（Ⅰ）求证：PBDM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中点，PAAB，∴DAPBCMN第8页共12页ANPB．∵PA平面ABCD，所以ADPA．又ADAB，PAABA，∴AD平面PAB，ADPB．又ADANA，∴PB平面ADMN．∵DM平面ADMN，∴PBDM．………………6分解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设1BC，可得，0,0,0A，0,0,2P，2,0,0B，2,1,0C，11,,12M，0,2,0D．因为32,0,21,,102PBDM，所以PBDM．………………6分（Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则//BQDC，又PB平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为BQN．设1BC，在RtBQN中，则2BN，5BQ，故10sin5BQN．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为105．………………13分解法2：因为2,0,20,2,00PBAD．所以PBAD，又PBDM，所以PB平面ADMN，因此,PBDC的余角即是CD与平面ADMN所成的角．DAPBCMNQyAPBCDMNxz第9页共12页因为10cos,5||||PBDCPBDCPBDC．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为105．………………13分19．（本小题满分14分）为了让更多的人参与2011年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中34是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．解：（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2A为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．.w.w.12()()()PBPAPA121119219621333636CCCCCCC927341703685．所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685．………6分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，30363391(0)84CCPXC,1263393(1)14CCPXC第10页共12页21633915(2)28CCPXC，363915(3)21CPXC，………10分所以X的分布列为X0123P1843141528521故131550123284142821EX．……………………14分20．（本小题满分14分