福建省厦门外国语学校2010届高三第三次月考理科2010.1.5

12999数学网届高三第三次月考数学（理）试题（2010-01）（考试时间：150分钟满分：120分）第Ⅰ卷一、选择题(每题5分,共计50分)1.当a1时,函数y=xalog和y=(1－a)x的图象只可能是()2.已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且32OAOBOP，则（）A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上3．下列命题正确的是（）A．sin23yx在区间,36内单调递增B．44cossinyxx的最小正周期为2C．cos3yx的图像是关于点,06对称D．tan3yx的图像是关于直线6x对称4．双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D．335．已知两定点如果动点P满足条件则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．B．4C．8D．96．一只小小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．81B.161C.271D．8310008012999数学网．已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，nS是等差数列na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（）A.21B.20C.19D.188.如图，lABAB，，，，，到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则（）A．mn，B．mn，C．mn，D．mn，9.某仪表显示屏上有一排7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个小孔，且相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数为（）A．45B．48C．64D．8010.已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．在6(12)x的展开式中，含3x的系数是____________.12．在全球金融风暴的背景下，某政府机构调查了某地工薪阶层10000人的月工资收入，并把调查结果画成如右图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从所调查的10000人中抽出100人作电话询访，则在3500,2000（元）月工资收入段应抽出人。13．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是3cm.14．设M是椭圆22143xy上的动点，1A和2A分别是椭圆的左、右顶点，则21MAMA的最小值等于.20侧视图20正视图20101020俯视图（第13题图）ABabl12999数学网．符号x表示不超过x的最大整数，如208.1,3，22，定义xxx，则下列关于{x}的描述正确的序号是．①函数y=x的在)1,0[x上的图像为；②函数y=x是周期函数；③方程21x，有无数解；④函数y=x在R上单调增函数.第Ⅱ卷说明：以下作答必须用黑色签字笔书写．．．．．．．．．．．．．．，否则无效．．．．！三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本题13分）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，5AB，AA1＝4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1//平面CDB1；（3）求二面角B-CD-B1正切值的大小。17．（本题13分）等差数列{}na的各项均为正数，13a，前n项和为nS，{}nb为等比数列,11b，且2264,bS33960bS．(1)求na与nb；(2)求和：12111nSSS．12999数学网．（本题13分）如图,在ABC中,25,25,cos45BACC.(Ⅰ)求sinA;(Ⅱ)记BC的中点为D,求中线AD的长.19．（本题13分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．20．（本题14分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为．．．．．．．．．．．A．级时．．，产品为一等品．．．．．．，其余均为二等品．．．．．．．.（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A．级．的概率．．．如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）在表一的数据下，又已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，求、的分布列及E、E；（3）已知生产一件产品所需工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，ZxEyE最大？最大值是多少？（下页还有空间；解答须给出过程，图示）等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元）利润项目产品工人（名）资金（万元）甲85乙210用量工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率ABC12999数学网．（本题14分）已知函数1ln()xfxx.（Ⅰ）求该函数的单调区间；（Ⅱ）如果当1x时，不等式()1kfxx恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：)(,)1()!1(*22Nnennn.12999数学网届高三第三次月考数学（理）试题参考答案一、选择题二、填空题11、-16012、6513、8000/314、-115、①②③三、解答题16．解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，又AC⊥1cC，∴AC⊥平面BCC1；∴AC⊥BC1（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（3）作BECD交CD延长线于F，连接FB1，则1BFB为所求的二面角。BEBCABCBCFACAB故可求125BE，求出tan1BEB=3517．解：（1）设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，则d为正整数，3(1)nand，1nnbq23322(93)960(6)64SbdqSbdq①解得2,8dq或65403dq(舍去)题号12345678910答案BBCBBCBDDB12999数学网(1)21,8nnnannb（2）35(21)(2)nSnnn∴121111111132435(2)nSSSnn11111111(1)2324352nn1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn18．解:(Ⅰ)由25cos5C,C是三角形内角，得25sin1cos5CC∴sinsin()sincoscossinABCBCBC22253105252510(Ⅱ)在ACD中,由正弦定理，sinsinBCACAB，25310sinsin1022ACBCAB6125,32ACCDBC,25cos5C,222cosADACCDACCDC=2520922535519．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，ABC12999数学网＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．20．（1）...,....PP乙甲080850680750806．．．．．（2）随机变量、的分别列是,2.432.05.268.05E.1.24.05.16.05.2E．．．．．．．7分（3）由题设知.0,0,4028,60105yxyxyx目标函数为.1.22.4yxyExEzyxo52.5P0.680.322.51.5P0.60.412999数学网页作出可行域（如图）：作直线:l,01.22.4yx将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M时与原点距离最大，此时yxz1.22.4取最大值.解方程组.4028,60105yxyx得.4,4yx即4,4yx时，z取最大值，z的最大值为25.2。21．解：（Ⅰ）（0，1）递增；（1，+∞）递减。（Ⅱ）不等式(),1kfxx即为(1)(1ln),xxkx记(1)(1ln)(),xxgxx所以2(1)(1ln)(1)(1ln)()xxxxxgxx2lnxxx令()lnhxxx，则1()1hxx，1x，()0,hx()hx在1,)上单调递增，min()(1)10hxh，从而()0gx，故()gx在1,)上也单调递增，所以min()(1)2gxg，所以2k.（Ⅲ）法一：数学归纳法法二：由（Ⅱ）知：2(),1fxx恒成立，即122ln1111xxxxx，令(1)xnn，则2ln(1)1(1)nnnn