上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试

上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-1-上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）2009.11.12一、填空题：本题有14小题，每小题4分，共56分1．已知集合12,3,4,5,2445UAB，，，，，则UACB2．函数2yx的递减区间为3．已知zC，且1()1zfzz，则()fi4．函数y2,0,0xxxx的反函数是y5．已知圆的极坐标方程为2sin，则圆心的极坐标为6．已知直线l的方程为2413xtyt，则直线l的斜率为7．设函数(0,1)xyabaa的图象过点1,2，函数log()(0,1)byxabb的图像过点0,2,则ab等于8．若不等式11xa的解集非空，则整数a的最小值是9．函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10mxny上，则2mn的最小值为10．已知关于x的方程2lg(211)10xxt有实数解，则实数t的范围是11．已知(21)41()log1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是12．若关于x的方程(2008)()0fxfax恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a的值为．13．已知函数()1xfxx，规定：123()()()()(,)mnmaffffnmNnnnn，且12(,)mmmmnnSaaanmN，则20102010S的值是14．若存在实数Ra，使得不等式0xxab对于任意的]1,0[x都成立，则实数b的取值范围是二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分15．不等式112x的解集是（）A．(,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,0)(2,)16．若()yfx是定义在R上的函数，则“(0)0f”是“()yfx是奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．满足方程()fxx的根x0称为函数()yfx的不动点，设函数()yfx，()ygx都有不动点，则下列陈述正确的是（）A．(())yfgx与()yfx具有相同数目的不动点B．(())yfgx一定有不动点C．(())yfgx与()ygx具有相同数目的不动点D．(())yfgx可以无不动点上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-2-18．函数11fxx，21||fxx，31fxx，41||fxx的图像分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图像关于直线x=0的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①D1D2②D1∪D3=D2∪D4③D4D3④D1∩D3=D2∩D4A．①③B．①②C．②④D．③④三、解答题：（本题共有5道大题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分已知关于t的方程220tta一个根为13i．aR（1）求方程的另一个根及实数a的值；（2）若236axmmx在(0,)x上恒成立，试求实数m的取值范围．20．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分如图在长方体ABCD－1111ABCD中，11AAAD，2AB=，点E是棱AB上的动点．（1）若异面直线1AD与EC所成角为060，试确定此时动点E的位置；（2）求三棱锥C－1DED的体积．ABCDEA1B1C1D1上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-3-21．（本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分已知函数12log1fxx，当点00()Pxy，在()yfx的图像上移动时，点001()2xtQytR，（）在函数()ygx的图像上移动。（1）若点P坐标为1,1时，点Q也在()yfx的图像上，求t的值；（2）求函数()ygx的解析式；（3）若方程122log21xxgx的解集是，求实数t的取值范围．6.194.24yox图22.05.13.01yox图1上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-4-23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分记p,pqminp,qq.pq．（1）若函数2(),(1)3fxminxx，求()fx表达式；（2）求121()3,23)3xpxpxpfxmin，对所有实数x成立的充分必要条件（用12,pp表示）；（3）若12()3,23)xpxpfxmin，且fafb（,ab，12,pp为实数，且ab，12,,ppab）求fx在区间,ab上的单调增区间的长度和（闭区间,mn的长度定义为nm）．上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-5-参考答案一、填空题：本题有14小题，每小题4分，共56分1．2；2．(,2]；3．i；4．,0,0xxxx；5．(1,)2；6．34；7．6；8．1；9．34；10．(,0]t；11．11[,)62；12．2010；13．2020050；14．.322b；二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分15．D；16．A；17．D；18．C；三、解答题：（本题共有5道大题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．解：（1）方程另一个根为13i，3分(13)(13)4aii6分（2）由236axmmx对(0,)x恒成立，2min4[]36xmmx2436mm10分是2320[1,2]mmm14分20．解：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以1DD为z轴，建立空间直角坐标系。设1,t,0E则A1,0,0，D0,0,0，1D0,0,1，C0,2,01DA=1,0,-1CE1,t-2,04分根据数量积的定义及已知得:201+0t-20212cos60tt=1E的位置是AB中点.7分（2）11121132311C---DEDD--DECV=V14分21．解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为)(xf万元，B产品的利润为)(xg万元．由题意设xkxf1)(，xkxg2)(．由图知51)1(f，511k又6.1)4(g，542k．从而)0(51)(xxxf，)0(54)(xxxg（2）设A产品投入x万元，则B产品投入x10万元，设企业利润为y万元．xxxgxfy10545)10()()100(x令tx10，则tty545102514)2(512t)100(t当2t时，8.2514maxy，此时6410x答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．22．解：（1）当点P坐标为（11，），点Q的坐标为1112t，点Q也在()yfx的图像上，121log(11)2t，解得：0t4分（2）设()Qxy，在()ygx的图像上，则0012xtxyy，即0021xxtyy’7分而00()Pxy，在()yfx的图像上，0102log(1)yx代入得，12()log(2)2tygxxtx为所求10分上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）-6-（3）原方程可化为2101xtxxxx或22()(1)311xhxxxxx令20(1)22(211xxxx当时时取等号）()322hx12分②21(1)22(211xxxx当时时取等号）()322hx14分故方程()hxt的解集为时，t的取值范围为322,32216分23．解：（1）2(1)4,)3()222(1)0,4)(1)(1)333xxxxxfxxxxxx5分（2）由()fx的定义可知，1()3xpfx这等价于12323xpxp（对所有实数x）即123log2332xpxp对所有实数x均成立.（*）8分由于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值为12pp，故（*）等价于1232pp，即123log2pp，这就是所求的充分必要条件11分（3）1°如果12pp32log，则的图象关于直线1xp对称．因为fafb，所以区间,ab关于直线1xp对称．因为减区间为1,ap，增区间为1,pb，所以单调增区间的长度和为2ba14分2°如果12pp32log.（1）当12pp32log时.111113,,3,,xppxxpbfxxap，2323log222log223,,3,,xppxxpbfxxap当1,xpb，213log2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx，故1fxfx=13xp,当2,xap，123log2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx，故2fxfx=23log23px因为fafb，所以231log233pabp，即123log2abpp当21,xpp时，令12fxfx，则231log233xppx，所以123log22ppx，当1232log2,2ppxp时，12fxfx，所以2fxfx=23log23xp1231log2,2ppxp时，12fxfx，所以1fxfx=13pxfx在区间,ab上的单调增区间的长度和12312log22ppbpp=123log2222ppabbabb16分（2）当21pp32log时.类似可求得：fx在区间,ab上的单调增区间的长度和12321log22ppbpp=123log222ppbab综上得fx在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ba18分