普陀区高三质量调研数学试卷标准答案及解答参考（交流）

第1页09学年度第一学期高三质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每题4分，满分56分）：1.23；2.2；3.(2,0)；4.7x；5.1arccos3；6.94；7.2；8.21；9.3；10.90；11.2lgn；12.(1)34A;(2)11/^2AAN；(错一个即不得分)13.0a且0ab；（该结论的等价形式都对）；14.422,422.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号151617理18；文：18答案CBCA三、解答题：19.（满分14分）解：依题意，得220,12,Axxx，3100,3Bxx，于是可解得2,3AB.设集合20Cxxp，则,2px.由于是的充分条件，所以ABC.则须满足362pp.所以，实数p的取值范围是,6.20.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）（文）因为4sin302OB，4cos3023OA，所以218333VOBOA.（1）（理）解法一：设OB中点为E，联结CE、DE，则设异面直线AO与CD所成角即为CDE.由//DEAO，所以DE底面COB，于是DECE.又132DEAO，225CECOEO,因此，15tan3CDE.即异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3．第20题图ABODCE第2页解法二：以OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则(000)O，，，(0023)A，，，(200)C，，，(013)D，，，(0023)OA，，，(213)CD，，，设异面直线AO与CD所成角为，则66cos42322OACDOACD．异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos4．（2）文科同理科（1），评分标准见理科解法一.（2）（理科）由条件，底面圆周长为24OB，母线长4AB.故该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角大小为244rl，即展开图恰好为一个半圆（如图）.由条件2BOC，故展开图中，4CAB，此时CD的长即为所求.由余弦定理，2222cos452082CDCAADCAAD，故从点C出发在圆锥体表面运动到点D的最短距离为2522.21.（本题满分16分，其中第1小题6分，第2小题10分.）解：（1）依题意得，车队通过隧道的时间t关于车队行进速度v的函数解析式为：226000120961209()kvkvtfvvv，其中，定义域为00,vv；（2）2612096120680()99kvtfvkvkvvvv,00,vv；令680680kvvvk，于是1当0680vk时，()9268036170tfvkk；当且仅当680vk时，t取得最小值；DBAC第3页2当0680vk时，可知在0(0,]v上函数()tfv单调递减，则当0vv时，车队经过隧道的时间t的最小值为20min0061209()kvtfvv；综上，若0680vk，则当车速为680vk（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值min32170tk（秒）；若0680vk，则当车速为0vv（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值20min061209kvtv（秒）.22.（本题满分16分，其中第1小题7分，第2小题9分.）（1）证明：因为121111111112nnnnnaaaaa，所以111111nnaa，*Nn；故11na是等差数列.由此可得，nnaan)1()1(11111，所以111nnann，*Nn.（2）（文科）证明：由nnnnb)109(1，则有1191911010nnnnnnbbnn29919101010(1)1010(1)nnnnnnnnn所以，当2210010nn，即3n时，1nnbb；同理，当2210010nn，即4n时，1nnbb.由此可知，4b是数列nb中的最大项；又因为10b，且当2n时，0nb，所以数列nb中的最小项为10b.因此，对于任意的正整数m、n，都有第4页44139196831||0410400002nmbbbb.（2）（理科）解：由条件45nnnba，可知当2nk，0nb；当21nk时，0nb，*Nk.令45nnnba，则11414155nnnnnnbbnn24414555155(1)nnnnnnnnn所以，当2502nn时，1nnbb；同理可得，当2503nn时，1nnbb；即数列nb在1,2,3n时递增；4n时，递减；即3b是数列nb的最大项.然而，因为nb的奇数项均为nb，故332412835375b为数列nb的最小项；而221480.322525b，44341920.307245625b，所以24bb，故2b是数列nb的最大项.因此，对任意的正整数m、n，2381282482||253753753nmbbbb所以数列45nnnba，*Nn是一个“23域收敛数列”.23.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.）（1）解：设点B的坐标为22(,)Bxy.由题意，点A的坐标为(1,0)，于是可设射线l的方程为(1)ykx，代入圆C的方程可得：222(1)1xkx2222(1)2(1)0kxkxk…①方程①中，一个解必为1x，则由根与系数关系可知点B的横坐标为22211kxk；第5页代入直线方程可得2221kyk.所以，点B的坐标即为22212,11kkkk.（2）（理科）充分性：设射线l的斜率qkp（其中p、q均为整数且p、q互质）则由（1）可知222222211qppqxpqqp，2222221qppqypqqp.因为p、q均为整数，所以2x、2y必为一个有理数，从而B点必为一个有理点.必要性：若B点为有理点，则可设121qxp，222qyp（其中1p、1q、2p、2q均为整数且1p和1q互质、2p和2q互质）于是，22122111yqpkxppq，因为1p、1q、2p、2q均为整数，所以k必为一个有理数.（2）（文科）同理科（2）的充分性证明.（3）证：设B点的坐标为22(,)xy.当01k时，B点必定落在第一象限的四分之一圆周上，即20x，20y.而由22222xyr，所以B的横坐标2x、纵坐标2y以及圆的半径r必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据.由（2）结论可知，此时点B的坐标应为22222222,2.pqxrpqpqyrpq其中p、q此时均为正整数且p、q互质.于是，只要构造圆半径22()rpqm（其中m为正整数）时，则会有222xpqm,22ypqm，它们都为正整数，且满足22222xyr.因此，对于斜率为qkp（其中p、q均为整数，0pq且p、q互质）的斜线l，第6页只需确定圆的半径满足22()rpqm（其中m为正整数），则必定能构造“整勾股双曲线”满足题意.（理科）特别地，因为当22xy时，点B坐标必为22,22rr，而此时射线l的斜率为2221ykxr，不是有理数.所以，构造出的双曲线一定不是等轴双曲线，即由22xy，可构造的“整勾股双曲线”的实半轴长、虚半轴长和半焦距长可由22,,axbycr和22,,aybxcr构成，且个数一定为偶数个.说明：文科若只能构造出某个具体的“整勾股双曲线”，则可给2分.