成都市石室中学高三2012级高三第一次月考数学试题(理科)

石室中学高2012级高三上期第一次月考数学试题（理科）一、选择题（共5×12=60分）1．集合{(,)|}Axyya，集合{(,)|1,0,1|}xBxyybbb，若集合AB，则实数a的取值范围是（）A．(,1)B．,1C．(1,)D．R2．61()2xx的展开式中第三项的系数是（）A．154B．154C．15D．523．i是虚数单位，若复数z满足(1)1zii，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0B．1C．1D．24．已知非零向量a、b满足向量ab与向量ab的夹角为2，那么下列结论中一．定成立．．．的是（）A．abB．||||abC．abD．ab5．若双曲线22221(0,0)xyabab与直线2yx无交点，则离心率e的取值范围是（）A．(1,2)B．(1,2]C．(1,5)D．(1,5]6.设等比数列{}na的前n项和为nS，若2580aa，则下列式子中数值不能确定的是（）A．53aaB．53SSC．1nnaaD．1nnSS7．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率（）A．521B．27C．13D．8218．某球与一个120的二面角的两个面相切于A、B两点，且A、B两点间的球面距离为，则此球的表面积是（）A．12B．24C．36D．1449．已知函数133,(1),()log,(1),xxfxxx，则函数(1)yfx的大致图象是（）10．已知、是三次函数3211()2(,)32fxxaxbxabR的两个极值点，且(0,1)，(1,2)，则21ba的取值范围是（）A．1(,1)4B．1(,1)2C．11(,)24D．1(0,)3AxyOBxyODxyOyCxO11．已知正项等比数列765{}:2,naaaa满足若存在两项ma、na使得14mnaaa，则14mn的最小值为（）A．32B．53C．256D．不存在12．设()fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有(2)(2),fxfx且当[2,0]x时，1()()1,(2,6]2xfx若在区间内关于x的方程()log(2)0(1)afxxa恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．(2,)C．3(1,4)D．3(4,2)二、填空题（共4×4=16分）13．已知3sin()coscos()sin,5是第三象限角，则5sin()4=.14.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为14．若函数()fx11(0)(0)xxxxax是定义域上的连续函数，则实数a．16．向量V=(nnnnaaaa2,2211)为直线y=x的方向向量，a1=1,则数列na的前2011项的和为_______.石室中学高2012级高三上期第一次月考数学试题（理科）（第二卷）二、填空题：13、14、15、16、三、解答题：17．(本小题满分l2分)已知函数2()cos(2)cos23fxxx(xR)．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)ABC内角ABC、、的对边长分别为abc、、，若3(),1,22Bfb3,c且,ab试求角B和角C．18.（本小题满分12分）小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（Ⅰ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（Ⅱ）用表示三只小白鼠共表现症状的种数．．，求的分布列及数学期望．19．（共12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，90,BADBCAD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM平面PAB；（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．20、（共12分）已知点P是⊙O：229xy上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足23DQDP。（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使1()2OEOMON(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由。AMDCBP21．（共12分）已知函数2()ln20)fxaxax(.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线与直线2yx垂直，求函数()yfx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,)x都有()2(1)fxa成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记()()()gxfxxbbR.当1a时，函数()gx在区间1[,]ee上有两个零点，求实数b的取值范围.22（本题共14分）已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,1nnafa;数列nb满足1111,(1)22nnbbnb,*nN.求证:（Ⅰ）101;nnaa（Ⅱ）21;2nnaa（Ⅲ）若12,2a则当n≥2时,!nnban.石室中学高2012级高三上期第一次月考数学试题（理科）1——12：BABBDDDCDAAD13．721014.2(21)k15．1216．201117．解：（Ⅰ）∵2π33πcos2cos2sin2cos23sin23223fxxxxxx，∴.故函数fx的最小正周期为π；递增区间为5,1212kk(kZ)………6分（Ⅱ）π33sin232BfB，∴π1sin32B．∵0πB，∴ππ2π333B，∴ππ36B，即π6B．…………………9分由正弦定理得：13πsinsinsin6aAC，∴3sin2C，∵0πC，∴π3C或2π3．当π3C时，π2A；当2π3C时，π6A．（不合题意，舍）所以π6B.π3C…12分18．解：（Ⅰ）用(12,3)iAi，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)iBi，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)iCi，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()PAPABC111162366（Ⅱ）可能的取值为321，，.3331112223331111(1)()2366PPABCABCABC,1(3)6P，112(2)1(1)(3)1663PPP．所以，的分布列是123P162316所以，1211232632E．19．解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，在△PAD中，MNAD，且112MNAD；又BCAD，且112BCAD，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，CMBN.又CM平面PAB，BN平面PAB，故CM平面PAB.……5分（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，连结PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA侧面PAB，于是过A作AFPE于F，连结DF，由三垂线定理可知AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角.……8分在△EAD中，由BCAD，12BCAD，知B为AE为中点，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴5PE，2.5AF故2tan525AFD，即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为5.…12分解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.……2分（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以(1,0,1)CM，又平面PAB的法向量可取为(0,1,0),m∴0CMm，即CMm.又CM平面PAB，所以CM平面PAB.……6分（Ⅱ）设平面PCD的法向量为111(,,).nxyz∵(1,1,1),(0,2,1)PCPD，∴111110,20.PCnxyzPDnyz，不妨取12,z则111,1.yx∴(1,1,2).n又平面PAB的法向量为(0,1,0).m设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为，则由,mn的方向可知16cos6||||6mnmn，(0,)，∴30sin,tan5.6即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为5.……12分(解法三：因为DA侧面PAB，CB侧面PAB，所以也可以考虑用射影面积来求解)20、解：（1）设00(,),,PxyQxy，依题意，则点D的坐标为0(,0)Dx………1分∴00(,),(0,)DQxxyDPy……………2分AMDCBPNADCBPEFAMDCBPxyz21解:(I)直线2yx的斜率为1.函数()fx的定义域为(0,)，因为22()afxxx，所以22(1)111af，所以1a.所以2()ln2fxxx.22()xfxx.由()0fx解得2x；由()0fx解得02x.所以()fx的单调增区间是(2,),单调减区间是(0,2).……………………4分(II)2222()aaxfxxxx，由()0fx解得2xa；由()0fx解得20xa.所以()fx在区间2(,)a上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减.所以当2xa时，函数()fx取得最小值，min2()yfa.因为对于(0,)x都有()2(1)fxa成立，所以2()2(1)faa即可.则22ln22(1)2aaaa.由2lnaaa解得20ae.所以a的取值范围是2(0,)e.…8分(III)依题得2()ln2gxxxbx，则222()xxgxx.由()0gx解得1x；由()0gx解得01x.所以函数()gx在区间(0,1)为减函数，在区间(1,)为增函数.又因为函数()gx在区间1[,]ee上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0.gegeg≥≥解得211bee≤.所以b的取值范围是2(1,1]ee.………………………………………12分22．解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明01na,*nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即01ka.则当n=k+1时,因为0x1时,1()1011xfxxx,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0,1上连续,所以f(0)f(ka)f(1),即011ln21ka.故当n=k+1时,结论也成立.即01na对于一切正整数都成立.——4分又由01na,得1ln1ln(1)0nnnnnnaaaaaa,从而1nnaa.综上可知101.nnaa——6分(Ⅱ)构造函数g(x)=22x-f(x)=2ln(1)2xxx,0x1,由2()01xgxx,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续,所以g(x)g(0)=0.因为01na,所以0nga,即22nnafa0,从而21.2nnaa—10分(Ⅲ)因为1