新人教B版2012届高三单元测试12必修5第一章《解斜三角形》

新人教B版2012届高三单元测试12必修5第一章《解斜三角形》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝1，∠A＝30°，∠B＝60°，则b等于()A.32B.12C.3D．2解析：选C.由asinA＝bsinB得，b＝asinBsinA＝1·sin60°sin30°＝3.2．在△ABC中，a＝80，b＝100，∠A＝45°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．一解或两解D．无解解析：选B.由asinA＝bsinB得sinB＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a＜b，∴B有两解．故三角形有两解．3．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－18解析：选C.c2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c＝3，∴B最大．cosB＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析：选A.由余弦定理cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC＝2π3.5．在△ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°解析：选C.设最大角为∠A，最小角为∠C.由∠B＝60°得∠A＋∠C＝120°.根据正弦定理，得ac＝sinAsinC＝－CsinC＝3＋12，所以2sin(120°－C)＝(3＋1)·sinC，即3cosC＋sinC＝3sinC＋sinC，所以tanC＝1，又0°＜∠C＜180°，所以∠C＝45°，所以∠A＝75°.6．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝23S△ABC，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选B.由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴∠C＝60°，又23S△ABC＝a2＋b2－ab，∴23×12ab·sin60°＝a2＋b2－ab，得2a2＋2b2－5ab＝0，即a＝2b或b＝2a.当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2.故△ABC为直角三角形．7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝519m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30mB.1523mC．153mD．45m解析：选B.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝152＋102－1922×15×10＝－12，∴∠ACB＝120°，∴∠ACD＝180°－120°＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积S为()A.152B.15C．2D．3解析：选A.∵b2－bc－2c2＝0，∴(b－2c)(b＋c)＝0.∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2c.∴6＝c2＋4c2－2c·2c×78，∴c＝2，b＝4.∴S＝12bcsinA＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1＜a＜3B．1＜a＜5C.3＜a＜5D．不确定解析：选C.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，所以b2＋c2－a2＞0，a2＋c2－b2＞0，a2＋b2－c2＞0，所以1＋4－a2＞0，a2＋4－1＞0，a2＋1－4＞0，即3＜a2＜5，所以3＜a＜5.又c－b＜a＜b＋c，即1＜a＜3.由3＜a＜5，1＜a＜3.得3＜a＜5.10．△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，且满足2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋3B．3＋3C.3＋33D．2＋3解析：选C.2b＝a＋c，12ac·12＝12⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，∴b2＝a2＋c2－2ac·32⇒b2＝4＋233⇒b＝3＋33.11．在△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①a2＞b2＋c2⇒b2＋c2－a2＜0⇒b2＋c2－a22bc＜0⇒cosA＜0⇒A为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－a2＝－bc⇒b2＋c2－a22bc＝－12⇒cosA＝－12⇒A＝120°；③与①同理知cosC＞0，∴C是锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．④A∶B∶C＝1∶2∶3⇒A＝30°，B＝60°，C＝90°⇒a∶b∶c＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则ba的取值范围是()A．(－2,2)B．(0,2)C．(2，2)D．(2，3)解析：选D.∵ba＝sinBsinA＝sin2AsinA＝2cosA，又∵△ABC是锐角三角形，∴B＝2A＜90°A＋2A＞90°，∴30°＜A＜45°，则ba＝2cosA∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.答案：314．△ABC中，2asinA－bsinB－csinC＝________.解析：因为asinA＝bsinB＝csinC，所以asinA－bsinB＝0，asinA－csinC＝0，即2asinA－bsinB－csinC＝0.答案：015．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另两边长分别为8t,5t(t＞0)，由余弦定理，得cos60°＝64t2＋25t2－19680t2，解得t＝2.则另两边长分别为16和10，则这个三角形的面积为12×16×10sin60°＝403.答案：40316．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，则△ABC的周长是________．解析：由已知得O是三角形△ABC的外心，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，又OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，故∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝2π3，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝2.在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos2π3＝6，AB＝6，故△ABC的周长是36.答案：36三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.解：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB得，∴sinB＝basinA＝623·12＝32.又A＝30°，且a＜b，∴B＞A.∴B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝90°，△ABC为直角三角形，S△ABC＝12ab＝63.②当B＝120°时，C＝30°，△ABC为等腰三角形，S△ABC＝12absinC＝33.18．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，满足a＋c＝2b且2cos2B－8cosB＋5＝0，求∠B的大小并判断△ABC的形状．解：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝12或cosB＝32(舍去)，∴cosB＝12，∴∠B＝π3，又∵a＋c＝2b，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－a＋c222ac＝12.化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.又a＋c＝2b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定∠C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA3＝sinAsinC.∵sinA≠0，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴∠C＝π3.(2)∵asinA＝bsinB＝csinC＝2，∴a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋3＝23sin(A＋π6)＋3，∵△ABC是锐角三角形，∴π6＜∠A＜π2，故32＜sin(A＋π6)≤1.所以△ABC周长的取值范围是(3＋3，33]．20．△ABC的周长为20，BC边的长为7，∠A＝60°，求它的内切圆半径．解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆的半径为r.由题意a＋b＋c＝20，a＝7，所以b＋c＝13.又a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以72＝132－3bc，于是bc＝40，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×40×sin60°＝103.由S△ABC＝12(a＋b＋c)r，得r＝2S△ABCa＋b＋c＝20320＝3，即△ABC的内切圆的半径为3.21．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结A1B2，则A2B2＝102，A1A2＝2060×302＝102.又∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形，则∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.所以B1B2＝102，10220×60＝302.则乙船每小时航行302海里．22．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2＝ac，cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；(2)设BA→·BC→＝32，求三边a、b、c的长度．解：(1)由cosB＝34可得，sinB＝1－cos2B＝74.∵b2＝ac，∴根据正弦定理可得sin2B＝sinAsinC.又∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝cosAsinC＋cosCsinAsinAsinC＝A＋Csin2B＝sinBsin2B＝1sinB＝477.(2)由BA→·BC→＝32得|BA→|·|BC→|cosB＝accosB＝32，又∵cosB＝34，∴b2＝ac＝2，又由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝2.得a＋c＝3ac＝2，解得a＝1c＝2或a＝2c＝1，又∵b2＝ac＝2，∴b＝2.∴三边a，b，c的长度分别为1，2，2或2，2，1.