新人教B版2012届高三单元测试13必修5第二章《数列》

新人教B版2012届高三单元测试13必修5第二章《数列》(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{an}满足a1＝3，an－an＋1＋1＝0(n∈N＋)，则此数列中a10等于()A．－7B．11C．12D．－6解析：选C.易知{an}为等差数列，且公差为1，∴a10＝3＋(10－1)×1＝12.2．数列{an}是由实数构成的等比数列，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}中()A．任一项均不为0B．必有一项不为0C．至多有有限项为0D．或无一项为0，或有无穷多项为0解析：选D.如在数列2，－2,2，－2…中，S1＝2，S2＝0，S3＝2，S4＝0，…，如果一项为0，那么就会有无限多项为0.3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．2B．3C．4D．5解析：选B.由S偶－S奇＝30－15＝5d得d＝3.4．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列，则q＝()A．1或－12B．1C．－12D．－2解析：选A.∵{an}为等比数列且公比为q，且a1，a3，a2成等差数列，则2a1·q2＝a1＋a1q，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－12.5．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15解析：选C.由a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，知a7为一个定值，∴S13＝a1＋a132＝13a7也为定值．6．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是()A．217－2B．216－1C．216－2D．215－1解析：选B.题目虽然比较新，但是我们仔细分析题目中的条件，按照其规律有：215＋214＋213＋…＋1＝1－2161－2＝216－1.7．在Rt△ABC中，已知abc，且a、b、c成等比数列，则a∶c等于()A．3∶4B．(5－1)∶2C．1∶(5－1)D.2∶1解析：选B.由a2＋b2＝c2及b2＝ac，即可推得a∶c＝(5－1)∶2.8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42解析：选C.S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝24.9．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月解析：选C.Sn＝n90(21n－n2－5)＝190(21n2－n3－5n)．∴由an＝Sn－Sn－1，得an＝Sn－Sn－1＝190(21n2－n3－5n)－190[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝190[21(2n－1)－(n2＋n2－n＋n2－2n＋1)－5]＝190(－3n2＋45n－27)＝－390(n－152)2＋6340.∴当n＝7或8时，超过1.5万件．10．给定an＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈N＋)叫企盼数，则区间(1,10000)内所有企盼数之和为()A．15356B．16356C．17356D．16380解析：选B.∵a1·a2·a3…ak＝log23·log34·log45·…·logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)为整数，∴k＋2必是2的整数次幂．∵k∈(1,10000)，∴k可取22－2,23－2，…，213－2，∴所求企盼数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(213－2)＝(22＋23＋…＋213)－2×12＝12－2－1－24＝16356.11．已知数列{an}的前n项的和Sn＝3n－n2，则当n≥2时，下列不等式中成立的是()A．Sn＞na1＞nanB．Sn＞nan＞na1C．na1＞Sn＞nanD．nan＞Sn＞na1解析：选C.利用Sn－Sn－1＝an求出an，再进行作差比较三者的关系．12．数列{an}的通项公式为an＝1n＋1＋n，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于()A．6B．7C．48D．49解析：选C.将通项公式变形得：an＝1n＋1＋n＝n＋1－nn＋1＋nn＋1－n＝n＋1－n，则Sn＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1，由Sn＝6，则有n＋1－1＝6，∴n＝48.二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝12，用πn表示它的n项之积：πn＝a1·a2·a3…an，πn取得最大值时n＝________.解析：法一：令y＝log2πn＝log2(a1·a2·a3…an)＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an，而{log2an}构成公差为log2q＝log212＝－1的等差数列，则我们可以用等差数列前n项和公式得：y＝9n＋n－n2＝－12(n－192)2＋3612，又a10＝1，∴当n＝9或10时，πn最大．法二：an＝512·(12)n－1，当n＝10时，an＝1，∴n≤9时，an＞1，n＞10时，0＜an＜1，∴πn最大时，n取9或10.答案：9或1014．数列{an}中，a1＝a，an＝an－1nan－1＋1(n≥2)(a≠0)，则an＝________.解析：由an＝an－1nan－1＋1，可得1an＝n＋1an－1(n≥2)，令bn＝1an，则b2＝2＋b1，b3＝3＋b2，…，bn＝n＋bn－1，各式相加，得bn＝b1＋(2＋3＋…＋n)＝1a＋n－n＋2，an＝1bn＝2an－n＋a＋2.答案：2an－n＋a＋215．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．解析：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.答案：－616．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(4)＝________；f(n)＝________.解析：1＝1,7＝1＋1×6,19＝1＋1×6＋2×6，则f(4)＝1＋1×6＋2×6＋3×6＝37.f(n)＝1＋1×6＋2×6＋…＋(n－1)×6＝1＋6(1＋2＋…＋n－1)＝1＋3n(n－1)．答案：371＋3n(n－1)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明数列{bn}为等比数列．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.∴an＝12＋2(n－1)＝2n＋10.(2)证明：由(1)得bn＝2an－10＝22n＝4n，∴bn＋1bn＝4n＋14n＝4.∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．18．(2011年济南高二检测)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝13Sn，n≥1，n∈N＋.求(1)数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．解：(1)由a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3，…，得a2＝13S1＝13a1＝13，由an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，得an＋1＝43an(n≥2)，又a2＝13，所以an＝13(43)n－2(n≥2)，∴数列{an}的通项公式为an＝1n＝1343n－2n.(2)由(1)可知a2，a4，…，a2n是首项为13，公比为(43)2，且项数为n的等比数列，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝13·1－432n1－432＝37[(43)2n－1]．19．在等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件S2nSn＝4n＋2n＋1，n＝1,2，….(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S2nSn＝4n＋2n＋1，得a1＋a2a1＝3，所以a2＝2，即d＝a2－a1＝1.又4n＋2n＋1＝S2nSn＝an＋nd＋a12×2nan＋a12×n＝an＋nd＋a1an＋a1＝an＋n＋an＋1，所以an＝n.(2)由bn＝anpan，得bn＝npn，所以Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn，①当p＝1时，Tn＝nn＋2；当p≠1时，pTn＝p2＋2p3＋3p4＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②①－②，得(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn－npn＋1＝p－pn1－p－npn＋1.所以Tn＝nn＋2，p＝1，p－pn－p2－npn＋11－p，p≠1.20．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q.由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－2＝6n2－22n.21．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，…，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．解：(1)由题意知Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．(2)证明：T1＝a1，对n≥2反复使用(1)中的关系式，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①在①式两端同乘1＋r，得(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1·(1＋r)2＋an(1＋r)．②②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝dr[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an，即Tn＝a1r＋dr2(1＋r)n－drn－a1r＋dr2.如果记An＝a1r＋dr2(1＋r)n，Bn＝－a1r＋dr2－drn，则Tn＝An＋Bn，其中{An}是以a1r＋dr2(1＋r)为首项，以1＋r(r＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以－a1r＋dr2－dr为首项，以－dr为公差的等差数列．22．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N＋.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}