第五章 平面向量

第五章平面向量一、向量及向量的基本运算1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|。②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。注意与0的区别③单位向量：模为1个单位长度的向量。④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为ba。2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设bBCaAB,，则a+b=BCAB=AC。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。ba的作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4)实数与向量的积①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5)两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。6)平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。二、平面向量的坐标运算1、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ii,作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成jyixa，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。2、平面向量的坐标运算(1)若2211,,,yxbyxa，则2121,yyxxba(2)若2211,,,yxByxA，则1212,yyxxAB(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)(4)若0,,,,2211byxbyxa，则0//1221yxyxba(5)若2211,,,yxbyxa，则2121,yyxxba，若ba，则02121yyxx三、平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义①向量ba,，的夹角：已知两个非零向量ba,，过O点作aOA，,bOB则∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量ba,，的夹角。当且仅当两个非零向量ba,同方向时，θ=00，当且仅当ba,反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。②ba与垂直；如果ba,的夹角为900则称ba与垂直，记作ba。③ba与的数量积：两个非零向量ba,，它们的夹角为θ，则cosba叫做称ba与的数量积（或内积），记作ba，即ba=cosba，规定a0=0非零向量ba与当且仅当ba时，θ=900，这时ba=0。ababoPPo④b在a方向上的投影：RababOP)(cos（注意OP是射影）所以，ba的几何意义：ba等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设ba,是两个非零向量，e是单位向量，于是有：①cosaeaae；②0baba；③当ba与同向时，baba；当ba与反向时，baba，特别地，22aaaa。④babacos；⑤baba(3)平面向量数量积的运算律①交换律成立：abba②对实数的结合律成立：Rbababa③分配律成立：cbcacbabac特别注意：（1）结合律不成立：cbacba；（2）消去律不成立caba不能得到cb（3）ba=0不能得到a=0或b=0④但是乘法公式成立：2222babababa；2222bbaaba222bbaa（3）平面向量数量积的坐标表示①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ba=x1x2+y1y2②若a=(x,y),则|a|2=a.a=x2+y2,22yxa③若A(x1,y1),B(x2,y2),则212212yyxxAB④若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则02121yyxxba（注意与ba//时条件区别，ba//01221yxyx）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则222221212121cosyxyxyyxx四、线段的定比分点与平移1、线段的定比分点（1）定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数，使21pppp，叫做点P分有向线段21PP所成的比。当点P在线段21PP上时，0；当点P在线段21PP或21PP的延长线上时，0（2）定比分点的坐标形式112121yyyxxx,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，向量形式呢？（3）中点坐标公式当=1时，分点P为线段21PP的中点，即有222121yyyxxx，向量形式呢？2、平移（1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。（2）平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点P’(x’,y’’)，且'PP的坐标为(h,k)，则有kyyhxx''，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。五、解三角形及应用举例1、角的变换：在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．2、三角形边、角关系定理——正弦定理，余弦定理．（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）（2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2－2bccosA；b2=c2+a2－2cacosB；c2=a2+b2－2abcosC.在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=bcacb2222；cosB=cabac2222；cosC=abcba2222.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3、三角形的面积公式：（1）S△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）．（2）S△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB．（3）S△＝)sin(2sinsin2CBCBa＝)sin(2sinsin2ACACb＝)sin(2sinsin2BABAc．（4）S△＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）（5）S△＝Rabc4．（6）S△＝))()((csbsass)(21cbas其中（7）S△＝r·s．