高一年段培优数学教材（1）

福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第一讲函数的性质一、基本性质：1.函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意xD，都有()()fxfx成立；偶函数的图像关于y轴对称，对于任意xD，都有()()fxfx成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线yx对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线yx对称。（3）若函数满足()(2)fxfax，则()fx的图像就关于直线xa对称；若函数满足()(2)fxfax，则()fx的图像就关于点(,0)a对称。（4）互对称知识：函数()()yfxayfax与的图像关于直线xa对称。2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ayxax的图像和单调区间。3．函数的周期性对于函数()yfx，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有()()fxTfx成立，则称()yfx是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若T是()yfx的周期，那么()nTnZ也是它的周期。（2）若()yfx是周期为T的函数，则()(0)yfaxba是周期为Ta的周期函数。（3）若函数()yfx的图像关于直线xaxb和对称，则()yfx是周期为2()ab的函数。（4）若函数()yfx满足()()(0)fxafxa，则()yfx是周期为2a的函数。4．高斯函数对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为[]x，通常称函数[]yx为取整函数。又称高斯函数。又记{}[]xxx，则函数{}yx称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。高斯函数的常用性质：（1）对任意,1[][]1xRxxxx均有（2）对任意xR，函数{}yx的值域为[0,1)（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,,,[][]xxRxxxx若则（4）若,,[][],{}{}nZxRxnnxnxx则有，后一个式子表明{}yx是周期为1的函数。（5）若,,[][][][][]1xyRxyxyxy则（6）若*,,[][]nNxRnxnx则二、综合应用例1：设()fx是R上的奇函数，(2)(),01(),fxfxxfxx当时，求(7.5)f的值。例2：设(),()fxgx都是定义在R上的奇函数，()()()2Fxafxbgx在区间(0,)上的最大值为5，求()(,0)Fx在上的最小值。例3：已知33sin20,,,,,cos(2)1444sin202xxaxyaRxyyya且则______________例4：设1,,aa均为实数，试求当变化时，函数(sin)(4sin)1sinay的最小值。例5：解方程：（1）2log(231)5xx（2）2323(2038)415284xxxxx例6：已知定义在R上的函数()fx满足()()()fxfyfxy，当0()0xfx时，(1)2f；（1）求证：()fx为奇函数；（2）求()fx在[3,3]上的最值；（3）当2t时,不等式2222(log)(loglog2)0fktftt恒成立，求实数k的取值范围。例7：证明：对于一切大于1的自然数n，恒有11121(1)(1)(1)35212nn例8：设()fx是定义在Z上的一个实值函数，()fx满足()()2()()(1)0fxyfxyfxfyf①②，求证：()fx是周期为4的周期函数。例9：给定实数x，定义[]x为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）[]0[]1()[]()[]xxxxfxxxfxxx①②③是周期函数④是偶函数例10：求方程2lg[lg]20xx的实根个数。三、强化训练：1.已知3()sin4fxaxbx（a、b为实数），且3(lglog10)5f，求(lglg3)f的值。2.若方程222sin(cos)0xaxa有唯一解，求a的所有取值。3.已知函数()fx定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有()(1)(1)fxfxfx。若(0)1992f，求(1992)f的值。4.函数()fx定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式(2)(2),(7)(7).fxfxfxfx设()0fx的一个根是0x，记()01000,1000fx在区间中的根的个数是N，求N的最小值。5.若函数()yfx的图像关于直线xa对称，且关于点(,)Mbc对称，求证()fx是周期函数。6.求数列na的最小项，其中2222469(1,2,)(322)3naannnn7.已知(cos)0fx的解集为[0,]2，解不等式(sin)0.fx8.设()fx是定义在(0,)上的增函数，对任意,(0,)xy，满足()()()fxyfxfy。（1）求证：①当(1,)()0()()()xxfxffxfyy时，②（2）若(5)1f，解不等式(1)(2)2.fxfx9.已知()(0,1)xfxaaa，求满足22(345)(231)fxxfxx的x的值。10.求和：102421[log]NN参考答案：例1：周期为4，(7.5)0.5f例2：记()()()Gxafxbgx，则()Gx为奇函数。()Fx在(,0)上的最小值为-1.例3：3()sinfttt在[,]44上为增函数，cos(2)1xy例4：3(1)(1sin)21sinaya，换元后研究函数3(1)()2afxxax的单调性当713a时min23(1)2(3(1))yaaxa；当73a时min5(1)(2)2yax例5：（1）构造2()log(231)xfxx，利用单调性得：5x（2）构造递增函数3()4fxxx，利用2(2038)()fxxfx解得：29x例6：（2）maxmin()6;()6fxfx（3）221k例7：构造111(1)(1)(1)3521()21nfnn，证明()fn是递增数列，故1()(2)2fnf例8：令1y得(1)(1)0()(2)4fxfxfxfxT例9：④例10：2lg2[lg]lg1lg2xxxx（1）当1lg0x时[lg]1x，代入原方程解得110x（2）当0lg1x时[lg]0lg2xx（矛盾）（3）当1lg2x时[lg]1x3lg310xx（4）当lg2x时[lg]21000xx强化训练：1．32．0,2sin1aa3．(1992)(0)1992ff4．4015．略6．最小项为69319a7．22,kxkkZ8．1(0,)49x9．1a时2,3xx；01a时23x10．10242324310921[log]01(22)2(22)3(22)9(22)108204NN