高一年段数学培优教材（2）

福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第二讲二次函数一、基础知识：1．二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)fxaxbxca（2）顶点式：2()()fxaxhk，顶点为(,)hk（3）两根式：12()()()fxaxxxx（4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxx2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24bacbaa，对称轴方程为2bxa，开口与a有关。（2）单调性：当0a时，()fx在(,]2ba上为减函数，在[,)2ba上为增函数；0a时相反。（3）奇偶性：当0b时，()fx为偶函数；若()()faxfax对xR恒成立，则xa为()fx的对称轴。（4）最值：当xR时，()fx的最值为244acba，当[,],[,]2bxmnmna时，()fx的最值可从(),(),()2bfmfnfa中选取；当[,],[,]2bxmnmna时，()fx的最值可从(),()fmfn中选取。常依轴与区间[,]mn的位置分类讨论。3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)fxaxbxca的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。二、综合应用：例1：已知二次函数()fx的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)ABC，求()fx的解析式。例2：已知2()3fxxaxa，若[2,2]x时，()0fx恒成立，求a的取值范围。例3：集合2{(,)|2}Axyyxmx，{(,)|10,02}Bxyxyx且，若AB，求实数m的取值范围。例4：设2()(0)fxaxbxca满足条件：（1）当xR时，(4)(2)()fxfxfxx且，（2）当21(0,2),()2xxfx时，（3）()fx在R上的最小值为0。①求()fx的解析式；②求最大的(1)mm使得存在tR，只要[1,]xm就有()fxtx。例5：求实数a的取值范围，使得对于任意实数x和任意实数[0,]2，恒有2(32sincos)x21(sincos)8xaa。例6：已知函数2()(0)fxaxbxca，方程()fxx的两根是12211,,xxxxa且，又若10tx，试比较1()ftx与的大小。例7：设2()(0)fxaxbxca,方程()0fxx的两个根12,xx满足1210xxa，（1）当1(0,)xx时，证明1()xfxx；（2）设()fx的图像关于直线0xx对称，证明102xx三、强化训练：1．二次函数()yfx满足(3)(3)fxfx，且()0fx又两个实根12,xx，则12xx等于（）A.0B3C.6D.122．已知()()()2()fxxaxbab，并且,是方程()0fx的两根，则实数,,,ab的大小关系可能是（）....AabBabCabDab3．已知函数223,[0,]yxxxm上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）.[1,).[0,2].[1,2].(,2]ABCD4．设函数2()(0)fxxxaa，若()0,fm则(1)fm的值的符号是________________5．已知2()(lg2)lg,(1)2,()2fxxmxnffxx且对于一切实数x都成立，则mn______6．已知2()lg(21)fxaxx的值域是R，则实数a的取值范围是______________________7．函数20.3()log()fxxaxa的递增区间为(,13)，则实数a的值是______________8．设实数,,abc满足222870660abcabcbca，则实数a_____________________9．若函数2113()22fxx在区间[,]ab上的最大值为2b，最小值为2a，求区间[,]ab。10．设2()1(0)fxaxbxa,方程()0fxx的两个根12,xx，若1224xx，设()yfx的对称轴为0xx，求证01x11．已知2(),[0,1],02afxxaxxa，求()fx的最小值()ga的表达式，并求()ga的最大值。12．是否存在二次函数()fx，同时满足：（1）(1)0f；（2）对于一切xR都有21()(1)2xfxx？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。13．设2()(0)fxaxbxca,当[0,1]x时，|()|1fx，求证：适合bA的最小实数A的值为8。14．若0a，求证：方程21110xxaxa，（1）有两个异号实根；（2）正根必小于23a，负根必大于223a参考答案：例1：()2(1)(2.5)fxxx例2：min()()072fxgaa；其中273(4)()3(44)47(4)aaagaaaaa例3：2(1)10,[0,2]xmxx，(2)012fm0或m-10-2例4：（1）由①②得：1(1)1(1)1ff；21()(1)4fxx（2）结合图像可以知道：m为方程21(1)4xtx的两根，从而1,9tm例5：设sincos,[1,2]tt，原不等式化为：2221(2)()8xtxat恒成立记222()(2)()fxxtxat，则min1()8fx，22222()(2),()22abtatabfx22221(2)2230225082tattattat或，3522atattt或minmax357712,()6;()62222tttaatt或例6：提示：22111111()()()()[()]ftxftfxatbtcaxbxcatxatxb1()ftx例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。强化训练：1．C2.A3.C4.正5.1106.[0,1]7.2a8.[1,9]9．分析对称轴：（1）()201,3()2fabbaabfba，（2）()20()2faaabfbb无解（3）13202()2babfaa13213217,24()2babfba10．构造2(2)0()()(1)1,(4)0ggxfxxaxbxg可以推出结论。11．同例2解法12．2111()424fxxx13．1111(1)(1)4444113(0)()(1)(0)24441111()()242242fabcfabcbfcfffbbfacfac114()(1)3(0)||4|()||(1)|3|(0)|822bfffbfff，所以A的最小值为814．略