高一年段数学培优教材（5）

福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第五讲平面向量（1）一、基础知识：1．向量的运算：加法：;ABBCAC设1122(,),(,)axybxy则1212(,)abxxyy减法：;ABACCB设1122(,),(,)axybxy则1212(,)abxxyy实数与向量的积：向量a与a的关系；设(,),axy则(,)()axyR22||,||||||axyaa22||aaaa向量的数量积：||||cos(abab是a与b的夹角）；设1122(,),(,)axybxy则1212abxxyy2．向量的关系：①不等关系：||||||||||||ababab||||||abab（注意等号的条件）②设1122(,),(,),0axybxyb则ab,ab12210abxyxy12120;0abababxxyy3．平面向量的基本定理：如果12,ee是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数,，使12aee。相关结论：如果12,ee是同一平面内的不共线向量，且120ee，则0点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是：(1)OAxOByOCxy4．常用公式：22222()2()()abaabbabababABC中，M为BC边的中点，G为重心，则10;();02ABBCCAAMABACGAGBGC二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。例2：设ABC外心为O，取点M，使OAOBOCOM，求证M是ABC的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一条直线上。例3：在三角形ABC中，点M分AB所成的比为2，点N分AC所成的比为32，设线段CM和BN交于点FHMDCBA60yxoP，直线AP和BC的交点为Q，且,ABaACb，用,ab表示;APAQ例4：已知O为ABC内一点，150,90AOBBOC，设,,,OAaOBbOCc且||2,||1,||3abc，试用,ab表示c。例5：（1）已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PAPBPCAB，则点P在（）AABC内部BABC外部C在直线AB上D在直线AC上（2）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足([0,).||||ABACOPOAABAC则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心（3）在四边形ABCD中，设ABa，BCb，CDc，DAd，若abbccdda，则该四边形一定是（）A矩形B正方形C菱形D等腰梯形三、强化训练：1．已知A、B、C三点在同一直线上，O在直线外，OAa，OBb，OCc，且存在实数k，使250akbc成立，求点C分BA所成的比及k的值。2．若P分有向线段AB所成的比为,(1)，则有1OAOBOP。3．已知(1,2),(3,2)ab，当k为何值时：（1）kab与3ab平行？平行时是否同向？（2）kab与3ab垂直？4．如图，在平行四边形ABCD中,1,4AHHDBFMCBC,设,,ABaADb以,ab为基底表示,,,AMMHAFMD5．设O为ABC内一点，且满足230OAOBOC，求:ABCAOCSS6．ABC中，M是AB的中点，E是CM的中点，延长AE交BC于F，作MH∥AF，求证：BH=HF=FC。7．如图，在平面斜坐标系,60xOyxOy中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12opxeye，其中12,ee分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为(,)xy.若p点斜坐标为（2，－2），求p到O的距离|PO|；8．已知向量(,),(,2)uxyvyyx的对应关系用()vfu表示。（1）证明：对任意向量,ab及常数,mn，恒有()()()fmanbmfanfb成立；（2）设(1,1),(1,0)ab，求向量(),()fafb的坐标。（3）求使()(,)(,fcpqpq为常数)的向量c的坐标。ABCO参考答案：例1：略例2：22()()()()0AMBCOMOAOCOBOCOBOCOBOCOB0,0,GAGBGBOAOGOBOGOCOG3,3,,,OAOBOCOGOMOGOMG三点共线。说明：ABC外心为O，取点M，使OAOBOCOM成立的充要条件是M为ABC的垂心例3：45,45APabAQab例4：如图建立直角坐标系：31333(2,0),(,),(,)2222ABC31333(2,0),(,),(,)2222abc设3,33cab例5：（1）D（2）B（3）A强化练习：1．13,6k2．略3．（1）13k反向（2）19k4．3111,,,4444AMabMHabAFabMDab5．36．1222||2OPeeOP7．（2）()(1,1),()(0,1)fafb（3）(2,)cpqp