广东省湛江一中2011届高三10月月考（理数）

-1-湛江一中2010—2011学年度第一学期高三级十月月考数学（理）科试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合3{A,6,8}的真子集的个数为A．6B．7C．8D．92．不等式0232xx的解集是A．21xxx或B．12xxx或C．12xxD．21xx3．函数cosyx的一个单调递增区间为A．,22B．0,C．3,22D．,24．设复数z满足i2iz，则zA．12iB．12iC．12iD．12i5．函数)1(logxya(0a1)的图象大致是A．B．C．D．6．设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn7．已知53)cos(，135sin，)2,0(，)0,2(，则sin等于A．6533B．6563C．6533D．65638．设集合0123{}SAAAA，，，，在S上定义运算为：ijkAAA，其中k为ij被4除的余数（其中0123ij，，，，），则满足关系式02)(AAxx的()xxS的个数为A．4B．3C．2D．1-2-二、填空题：本大题共7小题．学生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9．54)cos(，)2,(x，则_______tan．10．若函数0,0,0,2)(xbxxaxxxf是奇函数，则_______ba．11．设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则______69SS．12．函数f(x)=1xx的最大值为___________．13．在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)xyynx所表示的平面区域为nD，记nD内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()nanN.则1a＝，经推理可得到na＝．（二）选做题（14、15题,学生只能从中选做一题）14．在极坐标系中，若过)0,3(M且与极轴垂直的直线交曲线cos4于BA,两点，则___________||AB．15．如图，AB为圆O的直径，弦AC、BD交于P，若3AB，1CD，则_______cosAPD．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分l2分）已知)cos3(sinsin2)(xxxxf，Rx．（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数)(xf的最大值及相应的x值．ABCDOP-3-17．（本小题满分l2分）设命题p：函数34)(2xxxf（],0[ax）的值域是]3,1[；命题q：指数函数xaxg)1()(在),(上是减函数．若命题“p或q”是假命题，求实数a的范围．18．（本小题满分l4分）如图，边长为6的正方体1111DCBAABCD中，M是1DD的中点，N在线段BC上，且2BN．（1）求异面直线BM与1CC所成角的余弦值；（2）证明：//BM面1DNC；（3）求点C到面1DNC的距离．19．（本小题满分l4分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，点A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①画出求解图并指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．1D1AABD1CC1BMN-4-20．（本小题满分l4分）已知数列}{na的前n项和为nS，且11a，12nnaS（,...3,2,1n）(1)求数列}{na的通项公式；(2)设)3(log1123nnab，证明：121111...21nnbbb．21．（本小题满分14分）已知函数)(xf=212(0),()ln,2axxagxx(1)若)()()(xgxfxh存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a0，使得方程()()(21)gxfxax在区间1(,)ee内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．-5-以数列{}na的前n项和2(1)1722244nnnnnSn7．答：提示：sin)cos(cos)sin())sin((sin8．答：Ｃ．提示：分别令3210,,,AAAAx枚举验证。二、填空题：9．答：43．53cossintan,53sin,54cos10．答：2．2,0ba11．答：37．231133636qqqSS，37116969qqSS12．答：21．0,0)0(xf时，2111)(xxxf13．答：n6,6．当1,2,3x时，区域内的整点个数分别为nnn3,2,个，共n6．14．答：32．cos4表示圆心为)0,2(半径为2的圆国。15．答：31．连结AD,OD,OC,则312121sinsincosODDCDOCDAPAPD-6-342-1xy要3)(xf，则4a，………………………………………………………………….5f所以p是真命题时，}42|{aaAa……………………………………………6f若q是真命题，则110a…………………………………………………………….8f即}01|{aaBa…………………………………………………………………9f由题，命题“p或q”是假命题，得qp,为假…………………………………….……10f即1|{)()(aaBCACaRR或20a或}4a……………………….….12f解法二、作出)(xf的图象，如右：………2f当3)(xf时，4,0x…………………..3f当1)(xf时，2x……………………4f所以要值域为]3,1[-7-解法二、因B1B//C1C,所以角MBB1为所求异面直线所成角（补角），………（略）（2）设面1NDC的法向量为),,(zyxn则066064001zyyxDCnDNn………………………………………………..……7fn可取)2,2,3(…………………………………………………………………………8f03)2()6(2)6()3(nBM，即nBM…………………….….9f且BM面1NDC……………………………………………………………………….10f所以//BM面1DNC；………………………………………………………………….10f解法二、连结MC，交DC1于O，可证ON//MB（略）(3))0,0,4(CN,设点C到面1DNC的距离为d，则171712||||nCNnd….14f解法二、等体积法：11CDNCCNDCVV（略）解法三、作垂线法：过C作面NDC1的垂线（略）19．-8-方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的府角2，2；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理112sinsin()dBM；第二步：计算BN.由正弦定理121sinsin()dBN；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第三步：计算MN.由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN20．解：由题12nnaS……..①当2n，nnaS21，………②……………………………………………………1f-9-所以121111...2222nbbb1111...21222321n111...10211nn…………………………………………….....10f(10)(21)...(1)nn……………………………………….…….13f1n即121111...21nnbbb……………………………………………….…..14f(2)解法二、nabnnn1])23(23[log1)3(log1123123……………..…….8f下用数学归纳法证明I．1n，左边22211=右边结论成立………………………………………………………….…….9fIi.假设1kkn时，结论成立，即1211...211kk……...10f那么…21)2)(1(221121)1(111...211kkkkkkk…………………………………………………………………………………………11f2221912421812422kkkkkkk………………………...13f-10-即不等式ax2+2x-10有满足),0(),(),,(aorba……………………….……4f即1)11(2122xxxa有解……………………………………………………….5f令1)1(,012tyxt的最小值为1……………………………………..……6f结合题设得a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)………………………………………7f解法三、同解法一……….即不等式ax2+2x-10有满足),0(),(),,(aorba……………………..……4f(1)当1a,0)1(4a，ax2+2x-10没有符合条解………………………5f(2)当0,01a，方程0122xax的两根是2121,011,011xxaaxaax，此时，区间],[21xx是所求的增区间。.………………………………………………………………………………………………6f(3)当0a，方程0122xax的两根是，2121,011,011xxaaxaax，区-11-(4)(5)当x∈(0,1)时,Hˊ(x)0,H(x)是减函数；当x∈(1,+∞)时,Hˊ(x)0,H(x)是增函数；若H(x)在(1,ee)内有且只有两个不相等的零点,只须2222min22112(12)()10()(1)(12)10()(12)1(2)(1)0aaeaeeHeeeeHxHaaaHeaeeaeeae……………..…13f解得2121eeae,所以a的取值范围是(1,221eee)………………………..14f