张家界市第一中学高三第四次月考数学（理）

1张家界市第一中学高三第四次月考数学（理）试卷时间120分钟，满分150分1221niiiniixynxybxnx参考公式：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图1，正方体1111DCBAABCD中，异面直线1BD与DA1所成的角等于（D）A．30B．45C．60D．902．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号（D）A．5，10，15，20，25B．５，15，20，35，40C．5，11，17，23，29D．10，20，30，40，503．用秦九韶算法求多项式6432()35221fxxxxxx，当x=2时的过程中3v为BA.7B.16C.31D.234．从4张100元，3张200元，2张300元的2008届北京奥运会预选赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为DA．57B.56C.43D.275．为得到函数cos(2)3yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（A）A．向左平移512个长度单位B．向右平移512个长度单位C．向左平移56个长度单位D．向右平移56个长度单位6．如果不等式2log0mxx在（0，22）内恒成立，那么实数m的取值范围是DA.112mm且B.1161mC.112mD.112m7．图1是某工厂10个车间2008年9月份产量的条形统计图，从左到右的各条形图表示各车间的产量依次记为1210AAA，，，（如3A表示3号车间的产量为950件）．图2是统BCDA1B1C1D1A1图2DCPAOBE计图1中产量在一定范围内车间个数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是AA．4B.5C.6D.108.已知函数()32fxx，xR．规定：给定一个实数0x，赋值10()xfx，若1244x，则继续赋值21()xfx，…，以此类推，若1244nx，则1()nnxfx，否则停止赋值，如果得到nx称为赋值了n次*()nN.已知赋值k次后该过程停止，则0x的取值范是CA.65(3,3]kkB.65(31,31]kkC.56(31,31]kkD.45(31,31]kk二、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,）9.不等式3|21|x的解集为.)2,1(10．若双曲线1422myx的渐近线方程为xy23，则双曲线的焦点坐标是_________．(7,0)11、如下图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割切，且不过圆心O，已知30,23,1BPAPAPC，则圆O的半径_______.r711、解：连结AO在直角三角形PAD中，03AD=PAtan30=23=23,0PAPD==4cos30图1793800900产量（件）车间8501000150095012456810图2开始输入1210AAA，，，01ni，输出n结束否1nn1ii是是否950?iA图210?iCOAPB11题3由切割线定理可知2PAPCPBPB12＝＝由BD＝PB－PD＝8，CD＝PD－PC＝3由相交弦定理知DEDACDBD＝即2r-22=38r=712.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为413．下列各数)9(85、)6(210、)4(1000、)2(111111中最小的数是____________)2(11111114.在极坐标系中，圆cos2与方程)0(4所表示的图形的交点坐标)4,2(15．已知点G是△ABC的重心，(,),AGABACR那么________；若120,2AABAC，则||AG的最小值是____________22,33三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）已知02cos22sinxx，（Ⅰ）求xtan的值；（Ⅱ）求xxxsin)4cos(22cos的值．解：（Ⅰ）由02cos22sinxx,22tanx，………………………2分3421222tan12tan2tan22xxx．…………………5分（Ⅱ）原式＝xxxxxsin)sin22cos22(2sincos22xxxxxxxsin)sin(cos)sin)(cossin(cos4BVADCxxxsinsincos…………………10分1cotx1)43(…………………12分17、（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)【解析】(1)画出散点图.(2)4166.5iiixy,463xy,42186iix,2481x由所提供的公式可得0.7b0.35a,故所求线性回归方程为0.70.35yx(3)100(0.71000.35)29.65吨.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，ACBC⊥，D是AB的中点，且ACBCa，VDCπ02．1）求证：平面VAB⊥平面VCD；2）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。解法1：1）ACBCa∵ACB∴△是等腰三角形，又D是AB的中点CDAB∴，┈2分又VC底面ABCVCAB∴┈3分于是AB平面VCD．┈4分又AB平面VAB∴平面VAB平面VCD┈5分2）过点C在平面VCD内作CHVD于H，连接BH┈6分则由1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB┈7分于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角┈8分．在CHDRt△中，CD=a22，2sin2CHa；┈9分5设CBH，在BHCRt△中，sinCHa┈10分2sinsin2∴┈11分π02∵0sin1∴，20sin2┈12分又π02≤≤，π04∴┈13分即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．┈14分解法2：1）以CACBCV，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan222aaCAaBaDVa，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan222aaVDa，，，022aaCD，，，(0)ABaa，，．从而2211(0)0002222aaABCDaaaa，，，，··，即ABCD．同理22211(0)tan0022222aaABVDaaaaa，，，，··，即ABVD．又CDVDD，AB∴平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．2）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为()xyz，，n，则由00ABVD，nn··．得02tan0222axayaaxyaz，．可取(112cot)，，n，又(00)BCa，，，ADBCHVADBCVxyz6于是22sinsin222cotBCaBCann···，π02∵，0sin1∴，20sin2．又π02≤≤，π04∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．19．（本小题满分13分）已知动圆过定点1,0，且与直线1x相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于,PQ两点，且满足0OPOQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。（1）解：设M为动圆圆心，F1,0，过点M作直线1x的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN，………………………………………………2分即动点M到定点F与定直线1x的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中1,0F为焦点，1x为准线，动点R的轨迹方程为xy42…………………………………………………………………………5分（2）由题可设直线l的方程为(1)(0)xkyk，由2(1)4xkyyx得2440ykyk△216160k，11kk或………………………………………………………………………………7分设),(11yxP，),(22yxQ，则124yyk，124yyk……………………………………………9分由0OPOQ，即11,OPxy，22,OQxy，于是12120xxyy，……11分即21212110kyyyy，2221212(1)()0kyykyyk，4k(k2+1)－k2×4k+k2=0解得4k或0k（舍去），…………………………………13分又41k，∴直线l存在，其方程为440xy……………………………………14分720．（本小题满分13分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')(（其中32'f为)(xf在点32x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由Cxxfxxf2332')(，得132'23)('2xfxxf．取32x，得13232'232332'2ff，解之，得132'f，∴Cxxxxf23)(．……………………………………2分从而1313123)('2xxxxxf，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗∴)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．…4分（2）由（1）知，CCfxf27531313131)]([23极大值；CCfxf1111)1()]([23极小值．………………………………6分∴方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([极大值xf或0)]([极小值xf．………8分∴常数275C或1C．……………………………………9分（3）由（2）知，275)(23xxxxf或1)(23xxxxf．而031f，所以1)(23xxxxf．………………10分令01)(23xxxxf，得0)1()1(2xx，11x，12x．…………12分∴所求封闭图形的面积11231dxxxx11234213141xxxx34．…14分821.（本小题满分14分）已知数列{na}中，112nnaa（n≥2，Nn），（1）若531a，数列}{nb满足11nnab（Nn），求证数列{nb}是等差数列；（2）若531a，求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若211