湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷(数学)

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湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷(数学)(试卷满分:150分考试试卷:120分钟)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin()4fxx图像的对称轴...方程可以是A.2xB.4xC.2xD.4x2.设实数Ra且iia)((其中i是虚数单位)为正实数,则a的值为A.-1B.0C.0或-1D.13.已知向量a、b满足6,8,ab且,abab则ab=A.10B.20C.21D.304.已知120201,cos15sin15MxdxN,由如右程序框图输出的SA.0B.12C.1D.325.给定下列四个命题:①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④6.若不等式11xax对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是A.[-1,1]B.(1,1)C.(-2,2)D.[-2,2]7.如图,已知双曲线2213yx,,AC分别是虚轴的上、下顶点,B是左顶点,F为左焦点,直线AB与FC相交于点D,则BDF的余弦值是A.77B.577C.714D.57148.定义方程()()fxfx的实数根x0叫做函数()fx的“新驻点”,如果函数()gxx,()ln(1)hxx,()cosxx(()x,)的“新驻点”分别为,,,那么,,的大小关系是:A.B.C.D.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,满分35分.(一)必做题(9~13题)9.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合)(BACU=。10.61()xx的展开式中的常数项是:。(请用数字作答)11.已知平面区域}1|),{(22yxyx,0(,)01xMxyyxy,若在区域上随机投一点P,则点P落在区域M的概率为:。12.已知△ABC三边长分别为1、2、a()aR其中,“△ABC为锐角三角形”的充要条件是:“a”。13.有以下命题:设12,,mnnnaaa是公差为d的等差数列{}na中任意m项,若12(*,)mnnnrppNrNrmmm且,则12mnnnpaaaradmm;特别地,当r=0时,称pa为12,,mnnnaaa的等差平均项。⑴已知等差数列{}na的通项公式为na=2n,根据上述命题,则131018,,,aaaa的等差平均项为:;⑵将上述真命题推广..到各项为正实数的等比数列....中:设12,,mnnnaaa是公比为q的等比数列{}na中任意m项,若12(*,)mnnnrppNrNrmmm且,则;特别地,当r=0时,称pa为12,,mnnnaaa的等比平均项。(二)选做题(14~16题,考生只能从中选做两题)14.(优选法选做题)那霉素发酵液生物测定,一般都规定培养温度为(371)0C,培养时间在16小时以上,某制药厂为了缩短时间,决定优选培养温度,试验范围固定在29~500C,精确度要求1C,用分数法安排实验,令第一试点在1t处,第二试点在2t处,则12tt=0C。15.(几何证明选讲)如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于,BC两点,2AC,120PAB,则圆O的面积为.16.(坐标系与参数方程)在直角坐标系中,曲线1C的方程为24t4txy(t为参数),若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线2:cos1C与1C的交点之间的距离为.三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如右图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.⑴从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为,求的分布列和数学期望;⑵根据频率分布直方图填写下面22列联表,并判断是否有95%的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.18.一个几何体是由圆柱11ADDA和三棱锥EABC组合而成,点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上,EAABC平面,ABAC,ABAC,其正视图、侧视图如图所示.⑴求证:ACBD;⑵求锐二面角ABDC的大小.19.已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt(0t)与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.⑴求椭圆E的方程;⑵若圆C与y轴相交于不同的两点,AB,且ABC的面积为52,求圆C的标准方程.20.世界大学生运动会圣火台如图所示,圣火盆是半径为1m的圆,并通过三根长度相等的金属支架1PA、2PA、3PA(1A、2A、3A是圆上的三等分点)将其水平放置,另一根金属支架PQ垂直于地面,已知圣火盘的圆心O到地面的距离为3m,四根金属支架的总长度为ym.⑴设3()OPArad,请写出y关于的函数解析式,并写出函数的定义域;⑵试确定点P的位置,使四根金属支架的总长度最短.(参考数值:1cos3,其中1.23)21.定义:若数列nA满足21nnAA,则称数列nA为“平方数列”。已知数列na中,21a,点),(1nnaa在函数xxxf22)(2的图像上,其中n为正整数。⑴证明:数列12na是“平方数列”,且数列)12lg(na为等比数列。⑵设⑴中“平方数列”的前n项之积为nT,即12(21)(21)(21)nnTaaa,求数列na的通项及nT关于n的表达式。⑶记nanTbn12log,求数列nb的前n项之和nS,并求使4020nS的n的最小值。22.已知函数lnfxaxxx的图象在点ex(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.⑴求实数a的值;⑵若kZ,且1fxkx对任意1x恒成立,求k的最大值;⑶当4nm时,证明mnnmmnnm.参考答案一、选择题:DBACDBCD二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,满分35分.(一)必做题(9~13题)9.{3,5,8}10.-2011.1212.(3,5)13.16;12mrmmnnnpaaaaq(二)选做题(14~16题,考生只能从中选做两题)14.7915.416.4三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.18.方法1:(1)证明:因为EAABC平面,CAABC平面,所以EAAC,即EDAC.又因为ACAB,ABEDA,所以AC平面EBD.因为BDEBD平面,所以ACBD.………………………………………5分(2)解:4BC,22ABAC.过点C作CHBD于点H,连接AH,由(1)知,ACBD,ACCHC,所以BD平面ACH.因为AH平面ACH,所以BDAH.所以AHC为二面角ABDC的平面角.由(1)知,AC平面ABD,AH平面ABD,AD1A11EBCOD所以ACAH,即△CAH为直角三角形.在Rt△BAD中,22AB,2AD,则2223BDABAD.由ABADBDAH,解得263AH.因为tan3ACAHCAH.所以AHC60.所以二面角ABDC的平面角大小为60.方法2:(2)解:设,,xyzn是平面BCD的法向量,因为0,4,0BC,所以0,0.BCDBnn即40,2220.yxyz取1z,则1,0,1n是平面BCD的一个法向量.由(1)知,ACBD,又ACAB,ABBDB,所以AC平面ABD.所以2,2,0AC是平面ABD的一个法向量.因为21cos,2222ACACACnnn,所以,60ACn.而,ACn等于二面角ABDC的平面角,所以二面角ABDC的平面角大小为60.……………………………………12分19.解:(1)∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy.(2)依题意,圆心为(,0)(02)Ctt.由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr.∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB,且圆心C到y轴的距离dt,∴212302tt,即22107t.AD11A11EBCODxyz∴弦长22222123||221274tABrdtt.∴ABC的面积21512722Stt.517t或∴圆C的标准方程为22229569(1)()4728xyxy或.20.21.(Ⅰ)由条件an+1=2an2+2an,得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方数列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴lg(2an+1+1)lg(2an+1)=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1lg5,∴2an+1=52n-1,∴an=12(52n-1-1).∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=lg5(1-2n)1-2=(2n-1)lg5.∴Tn=52n-1.(3)cn=lgTnlg(2an+1)=(2n-1)lg52n-1lg5=2n-12n-1=2-12n-1,∴Sn=2n-[1+12+122+…+12n-1]=2n-1-12n1-12=2n-2[1-12n]=2n-2+212n.由Sn>4020得2n-2+212n>4020,n+12n>2011,当n≤2010时,n+12n<2011,当n≥2011时,n+12n>2011,∴n的最小值为2011.22.(1)解:因为lnfxaxxx,所以ln1fxax.因为函数lnfxaxxx的图像在点ex处的切线斜率为3,所以e3f,即lne13a.所以1a.(2)解:由(1)知,lnfxxxx,所以1fxkx对任意1x恒成立,即ln1xxxkx对任意1x恒成立.令ln1xxxgxx,[来源:Z.X.X.K]则2ln21xxgxx,令ln2hxxx1x,则1110xhxxx,所以函数hx在1,上单调递增.因为31ln30,422ln20hh,所以方程0hx在1,上存在唯一实根0x,且满足03,4x.当01()0xxhx时,,即()0gx,当0()0xxhx时,,即()0gx,所以函数ln1xxxgxx在01,x上单调递减,在0,x上单调递增.所以000000min001ln123,411xxxxgxgxxxx.所以0min3,4kgxx.故整数k的最大值是3.(3)证明1:由(2)知,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