浙江省2012年高三调研文科数学测试卷详细解析

第1页浙江省2012年高三调研文科数学测试卷详细解析选择题部分(共50分)2311221244313,1(),3SRVRRVShhVShShVhSSSSSSh参考公式：球的表面积：；球的体积：，其中表示球的半径。椎体的体积公式：，其中S表示锥体的底面积，表示椎体的高。柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高。台体的体积公式：其中、分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高。如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若全集U＝{－1，0，1，2}，P＝{x∈Z|x2＜2}，则CUP＝(A){2}(B){0，2}(C){－1，2}(D){－1，0，2}2{|2}{1,0,1},{1,0,1,2}{2}UPxZxUCA本题主要考查集合的运算，属于容易题解：选(2)已知i为虚数单位，则i1i＝(A)1i2(B)1i2(C)1i2(D)1i2解：(1)1122iiiii故选B(3)在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝12”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A＝60cosA＝12在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝12”的充分必要条件第2页选C(4)函数f(x)＝xe＋3x的零点个数是(A)0(B)1(C)2(D)3解：函数f(x)＝xe＋3x的零点个数方程xe=-3x的实根的个数xe函数y=xe图象与函数y=-3x图象的交点的个数，作出图像可知：函数f(x)＝xe＋3x的零点个数为1故选B(5)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(A)只有一条，不在平面α内(B)有无数条，不一定在平面α内(C)只有一条，且在平面α内(D)有无数条，一定在平面α内解：因为直线l//平面α，P∈α所以直线l与点P确定一个平面且与平面α相交，在据线面平行的性质知：只有一条，且在平面α内，故选C(6)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是（A）36cm3（B）48cm3（C）60cm3（D）72cm3解：由三视图知：该几何体体积为：3(26)2422448()2cm故选B(7)若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是(A)112(B)16(C)14(D)12解：先占两端有22A=2种排法，在安排老师在中间两个位置有22A=2种排法，据乘法原理知：每位老师都不站在两端站成一排共有4种排法2位老师，2位学生站成一排共有44A=24种排法故每位老师都不站在两端的概率是：P=16所以选B(8)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若242222正视图(第6题)侧视图俯视图第3页sin2B＋sin2C－sin2A＋sinBsinC＝0，则tanA的值是(A)33(B)－33(C)3(D)－3解：由sin2B＋sin2C－sin2A＋sinBsinC＝0结合正弦定理得：进而有：222bca=-bc又据余弦定理得：cosA=2221222bcabcbcbcA=23tanA=-3选D(9)如图，有4个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是(A)2(B)4(C)6(D)8解：若集合A中只含一个元素则可分为如下情形：A={⊙O1}对应B有1个；A={⊙O2}对应B有1个；A={⊙O3}对应B有1个；A={⊙O4}对应B有1个.若集合A中含2个或3个或4个元素则对应的集合B不存在故选B(10)已知点P在曲线C1：221169xy上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是（A）6（B）8（C）10（D）12xO1O2O3O4y(第10题)2220bcabc第4页2211212221211169||||1;PRPF1|1(PF1)10xyCFFCFQFFFC解：设曲线：的左右焦点为，，则由题知点P在双曲线的左支上此时应有：|PQ||P|P|PQ||PR||P|PQ||PR|的最大值为10选非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。(11)在等比数列{an}中，若a5＝5，则a3a7＝．解：据等比数列性质得：2537aaa所以，a3a7＝25(12)若某程序框图如图所示，则输出的S的值是．解：当S=1，K=1时，S=1，K=2当S=1，K=2时，S=2，K=3当S=2，K=3时，S=6，K=4当S=6，K=4时，S=24，K=5K=5不满足条件k≤4输出的S的值是24(13)某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如图)．若规定长度在[97，103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是．解：据频率分布直方图知：在[97，103)内的元件的频率为：1(20.02750.0450)20.82从而，估计这批产品的合格品率是82%频率/组距0.18000.10000.04500.0275O95939997103101105长度(第13题)S＝1开始k＝1k≤4？输出S结束k＝k＋1S＝kS是否(第12题)第5页(14)若函数f(x)＝21,0,,0,xxxx则不等式f(x)＜4的解集是．解：不等式f(x)＜4的解集2x0003-40414xxxxx或或所以，不等式f(x)＜4的解集是：0,3(4,0)(15)已知直线ax＋y＋2＝0与双曲线2214yx的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是．解：双曲线2214yx的渐近线方程为：2yx20axy与双曲线2214yx的一条渐近线平行2a220xy与y=-2x的距离为:255或220xy与y=2x的距离为：255这两条平行直线之间的距离是255(16)已知实数x，y满足10,220.xyxy若(－1，0)是使ax＋y取得最大值的可行解，则实数a的取值范围是．解：实数x，y满足10220xyxy所对应的区域如图所示yx-1OABOEDC(第17题)第6页由图知：a-2(17)已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1，C为AB中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝2，则OD＋OE的最大值是222222222222222222n,mCDm1mCEn1nDE=mnmn2m1mn1nmnmn=22(m+n)-(m+n)=3mn)432(m+n)-(m+n))440545解：设OD=m,OE=、n[0,1]则在中有：在中有：在中有:又CD又（（的最大值为OCDOCEODECEDEmnmnmnmnODOE三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(18)(本题满分14分)设向量α＝(3sin2x，sinx＋cosx)，β＝(1，sinx－cosx)，其中x∈R，函数f(x)＝αβ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(θ)＝3，其中0＜θ＜π2，求cos(θ＋π6)的值．本题主要考查三角函数性质与三角恒等变换、三角计算等基础知识，同时考查平面向量应用及三角运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解：由题意得f(x)＝3sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)，故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π．…………6分(Ⅱ)解：若f(θ)＝3，则2sin(2θ－π6)＝3，所以，sin(2θ－π6)＝32．第7页又因为0＜θ＜π2，所以θ＝π4或5π12．当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π6)＝624；当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝－cos5π12＝－624．………14分(19)(本题满分14分)设等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn．(Ⅰ)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)证明：n∈N*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．本题主要考查等差数列、等比数列概念、求和公式等基础知识，同时考查推理论证能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。(Ⅰ)解：因为Sn＝na＋n(n－1)，S1＝a，S2＝2a＋2，S4＝4a＋12．由于S1，S2，S4成等比数列，因此22S＝S1S4，即得a＝1．an＝2n－1．…………6分(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即212mmmSSS．因此a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0，要使数列{an}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m(2＋m)＜0，矛盾．所以，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．…………14分(20)(本题满分14分)已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为2．M为线段PC的中点．(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝2，AC＝22，PA＝PC＝2，CO＝AO＝2．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB．…………6分(Ⅱ)解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．ABDCMPN(第20题)ABDCMPN(第20题)OE第8页因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝2CPNP，故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2．…………14分(21)(本题满分15分)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，a,bR．(Ⅰ)曲线C：y＝f(x)经过点P(1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；(Ⅱ)已知f(x)在区间(1，2)内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用及二次方程根的分布等基础知识，同时考查抽象概括能力和推理论证能力。满分15分。(Ⅰ)解:)(xf＝22xaxb，由题设知：1(1)2,3(1)122,fabfab解得2,37.3ab…………6分(Ⅱ)解：因为()fx在区间(1,2)内存在两个极值点，所以()0fx，即220xaxb在(1,2)内有两个不等的实根．故2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)fabfabaab由(1)+(3)得0ab.由（4）得2a