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直线、平面、简单几何体2一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为，则正方体的棱长为（）A．B．2C．4D．3．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．B．C．D．4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90?B．60?C．45?D．30?5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（A）（B）（C）（D）6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么这个球的表面积是（）A．B．C．25D．507．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的体积是（）A．B．C．D．8．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（A）（B）（C）（D）9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A．B．C．D．9.C10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则从球中切截出的四面体OABC的体积是（）A．B．C．D．11．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（）A．B．C．D．12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A）18对（B）24对（C）30对（D）36对二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－PCD的体积为。14．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件时，有；（ii）当满足条件时，有.（填所选条件的序号）15．一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为。16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，⑴求证：DF∥平面ABC；⑵求证：AF⊥BD。18．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小19.在直三棱柱中，，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若直线与平面所成角为，求三棱锥的体积．20．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，⑴求证：A1C⊥平面BDE；⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。21．如图，三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角，且侧面ABB1A1⊥底面ABC，⑴求证：AB⊥CB1；⑵求三棱锥B1－ABC的体积；⑶求二面角C－AB1－B的大小。22．.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.参考答案一、选择题DAABCDDDCABD二、填空题13．14．③⑤②⑤15．16．2/3三、解答题17．⑴取AB中点E，则显然有FD∥ECDF∥平面ABC⑵18．解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO又CC1B1B，所以EODB，则EOBD为平行四边形，ED∥OB∵AB=BC，∴BO⊥AC，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥面ACC1A1∴ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1∴ED⊥BB1ED为异面直线AC1与BB1的公垂线（Ⅱ）联结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E则A1E⊥面ADE。过E向AD作垂线，垂足为F，连结A1F，由三垂线定理知∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角。不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=所以二面角A1—AD—C1为60°19．.解：(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.20．⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，，∴，∴设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，∴21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，则B1D⊥平面ABC∴∠B1BD为B1B与平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?又∵△ABB1和△ABC均为正三角形，∴D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB⑵易得⑶过D作DE⊥AB1，连CE，易证：CD⊥平面ABB1A1由三垂线定理知：CE⊥AB1，∴∠CED为二面角C－AB1－B的平面角。在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小为arctan222．解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为