重庆市重庆一中2011届高三入学摸底考试数学试题（理科）

级期末考试数学试题（理科）数学试题卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、选择题（本题满分50分，每小题5分）1．221lim12nnnnn=（）A．0B．1C．12D．122．曲线1yx在点（1,1）处的切线的斜率为（）A．1B．1C．2D．23．2(1)zi，则zi=（）A．iB．1C．3D．24．211lim1xxx（）A．0B．2C．2D．不存在5．设函数(0)()(0)xexfxaxx为R上的连续函数，则（）A．2aB．1aC．0aD．1a6．5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx（）A．5xB．51xC．51xD．5(1)1x7．设随机变量服从正态分布(,9)Nu，若(3)(1)pp，则u=（）．0B．2C．3D．98．一只骰子掷n次，至少出现一次1点的概率大于12，则n的最小值为（）A．6B．5C．4D．39．已知函数(1)()yxfx的图象如图1所示，其中()fx为函数()fx的导函数，则()yfx的大致图象是（）10．数字1,2,3,…,9这九条数字填写在如图2所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下也依次增大，当中心位置填上4后，所有填写空格的方法共有（）A．16种B．24种C．10种D．12种二、填空题（本题满分25分，每小题5分）11．复数611iii在复平面上对应的点在第象限。12．若()xfxxe在点P处的切线平行于x轴，且点P在()yfx的图象上，则点P的坐标为。13．来自北京、上海、天津、重庆四市的各2名学生代表排成一排照像，要求北京的两人相邻，重庆的两人不相邻。所有不同的排法种数为（用数字作答）。14．函数21()22fxxaxlnx在(0,)上不单调,则a的取值范围是。15．已知正整数数列na中，24a，对任意正整数n都有11111122111nnnnaaaann恒成立，则数列na的通项公式为na=。三．解答题（共75分）16．（13分）已知8()axx展开式中常数项为1120，其中实数a为常数。（1）求a的值；（2）求展开式各项系数的和。17．（13分）函数列{()}nfx满足12()(0)1xfxxx,1()nfx=1[()]nffx。（1）求23(),()fxfx；（2）猜想()nfx的解析式，并用数学归纳法证明。18．（13分）已知函数32()fxxbxcxd在(,0)上为增函数，在[0,2]上为减函数，(2)0f。（1）求c的值；（2）求证:(1)2f。19．（原创）（12分）一副扑克牌共52张（除去大小王），规定：①J、Q、K、A算1点;②每次抽取一张，抽到被3整除的点数奖励5元，抽到黑桃A奖励50元；③如未中奖,则抽奖人每次付出5元。现有一人抽奖2次（每次抽后放回），（1）求这人不亏钱的概率；（2）设这人输赢的钱数为，求E。20．（12分）设()(01)xfxaaa且，()gx为()fx的反函数。（1）当(aee为自然对数的底数）时，求函数()yfxx的最小值；（2）试证明：当()fx与()gx的图象的公切线为一、三象限角平分线时，1eae。21．（原创）（12分）设*111()1...,()ln()23fngnnnNn。（1）设()()nafngn，求123,,aaa，并证明{}na为递减数列；（2）是否存在常数c，使()()fngnc对*nN恒成立？若存在，试找出c的一个值，并证明；若不存在，说明理由。参考答案一．选择题．（每小题5分,共50分）题号12345678910答案CAABDCBCBD二．填空题．11．212．(0,1)13．720014．1a15．2n三．解答题．16．（13分）解:（1）882188()()rrrrrrraTCxCaxx设820r则4r．故常数项为448()1120Ca解得2a（2）当2a时,令1x展开式系数和为1当2a时,令1x展开式系数和为83．17．（13分）解:（1）1211221()()[()]1()12fxxfxffxfxx()()[()]1()13fxxfxffxfxx（2）猜想2()1nxfxnx,下面用数学归纳法证明1°．当1n时,猜想成立．2°．假设nk时猜想成立,即有2()1kxfxkx那么2112222()1()[()]1()1(1)11kkkkxfxxkxfxffxfxxkxkx这就是说当1nk时猜想也成立．由1°,2°可知,猜想对*nN均成立．故2()1nxfxnx．18．（13分）解:（1）2()32fxxbxc．由题(0)0f知0c（2）由题又有4(2)db故由2()320fxxbx两根为1220,3bxx．结合题设条件有223b,即3b．又(1)73fb73(3)2即得．19．（12分）解:（1）每次抽一张扑克牌中奖概率为1211524．故不亏钱的概率为113113744444416（2）随机变量的分布列如下100104555100P3344123252412352431245212125252115252从而884011052704338E20．（12分）（1）由xyex有1xye．解10xe得0x显见当0x时,0y．当0x时0y．故xyex在(,0]单减,在(0,)单增．从而在0x处取得极小值01e,同时也是最小值．（2）显见,当01a时,一三象限角平分线不可能是()fx与()gx的公切线,故1a．设切点为00(,)xx由000(1)ln1(2)xxaxaa有0logaxe代入（1）从而loglogaeaae即logaee．故eae．有1eae．21．（12分）（1）1111...ln23nann．由此11a．23ln22a,311ln36a．又1111lnln(1)ln(1)111nnaannnnn．构造函数()ln(1)hxxx．(0,1)x由1()1011xhxxx知()hx在[0,1)上为单减函数．从而当0x时,()(0)0hxh(0,1)1xn．有1()01hn即10nnaa故{}na为递减数列．（2）存在如0C等,下证*1111......ln()23nnNn注意到23lnlnln...ln121nnn．这只要证11lnln(1)(2)111nnnnn即可．容易证明ln(1)xx对0x恒成立．（这里略）取1(2)1xnn即可得上式成立．从而1111...ln023nn此时常数0c．