2011年高考一轮课时训练(理)12.5二项式定理 (通用版)

第五节二项式定理一、选择题1．(2009年浙江卷)在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－10B．10C．－5D．5解析：对于Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr＝(－1)rCr5x10－3r，对于10－3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C25(－1)2＝10.答案：B2．(2008年湖北卷)2x3－12x210的展开式中常数项是()A．210B.1052C.14D．－105解析：Tr＋1＝Cr10(2x3)r－12x210－r＝Cr102r－1210－rx3r－20＋2r，令3r－20＋2r＝0得r＝4，所以常数项为T5＝C41024－1210－4＝1052.答案：B3．(2008年重庆卷)若x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为()A．6B．7C．8D．9解析：因为x＋12xn的展开式中前三项的系数C0n、12C1n、14C2n成等差数列，所以C0n＋14C2n＝C1n，即n2－9n＋8＝0，解得：n＝8或n＝1(舍去)．Tr＋1＝Cr8x8－r12xr＝12rCr8x8－2r.令8－2r＝4可得r＝2，所以x4的系数为122C28＝7，故选B.答案：B4．(2008年安徽卷)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：由题知ai＝Ci8(i＝0,1,2，…8)，逐个验证知C08＝C88＝1，其它为偶数，选A.答案：A5．如果3x2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：由展开式通项有Tr＋1＝Crn()3x2n－r－2x3r＝Crn·3n－r·()－2r·x2n－5r由题意得2n－5r＝0⇒n＝52r()r＝0，1，2，…，n－1，故当r＝2时，正整数n的最小值为5，故选B.答案：B二、填空题6．(2009年湖南卷)在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3x)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)解析：由条件易知(1＋x)3，(1＋x)3，(1＋3x)3展开式中x项的系数分别是C13，C23，C33，即所求系数是3＋3＋1＝7.答案：77．(2009年全国卷)()xy－yx4的展开式中x3y3的系数为________．解析：()xy－yx4＝x2y2()x－y4，只需求()x－y4展开式中的含xy项的系数：C24＝6.答案：68．(2009年济南模拟)已知(x32＋x－13)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是______．(以数字作答)解析：∵(x32＋x－13)n的展开式中各项系数和为128，∴令x＝1，即得所有项系数和为2n＝128.∴n＝7.设该二项展开式中的r＋1项为Tr＋1＝Cr7(x32)7－r·(x－13)r＝Cr7·x63－11r6，令63－11r6＝5即r＝3时，x5项的系数为C37＝35.答案：35三、解答题9．在二项式x＋124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．解析：前三项系数为C0n，12C1n，14C2n，由已知C1n＝C0n＋14C2n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．Tr＋1＝Cr8(x)8－r(24x)－r＝Cr8·12r·x4－3r4.∵4－3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0，r＝4，r＝8.∴展开式中x的有理项为T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.10．在二项式(axm＋bxn)12(a＞0，b＞0，m、n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求ab的范围．解析：(1)设Tr＋1＝Cr12(axm)12－r·(bxn)r＝Cr12a12－rbrxm(12－r)＋nr为常数项，则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，∴r＝4，它是第5项．(2)∵第5项又是系数最大的项，∴有C412a8b4≥C312a9b3，①C412a8b4≥C512a7b5.②由①得12×11×10×94×3×2a8b4≥12×11×103×2a9b3，∵a＞0，b＞0，∴94b≥a，即ab≤94.由②得ab≥85，∴85≤ab≤94.