2011年高考一轮课时训练(理)10.3抛物线 (通用版)

第三节抛物线题号12345答案一、选择题1．(2010年韶关一模)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点与双曲线x212－y24＝1的右焦点重合，则p的值为()A．2B．4C．8D.422．(2010年辽宁卷)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.923．(2010年梧州模拟)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43B.75C.85D．34．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]5．(2010年全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223二、填空题6．(2010年宁夏海南卷)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．7．(2010年福建卷)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上②焦点在x轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6④抛物线的通径的长为5⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能使这个抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)三、解答题9．(2010年揭阳联考)已知M(0，－2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足AP→＝PB→，MA→·AP→＝0.(1)当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；(2)过(－2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1⊥l2，求直线l的方程．10.(2010年山东卷)如右图所示，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，||AB＝410，求此时抛物线的方程；参考答案1．C2．解析：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F12，0，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝122＋22＝172.答案：A3．解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为|4m－3m2－8|5，当m＝23时，取得最小值为43，故选A.答案：A4．解析：∵y2＝8x，∴Q(－2,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y＝k(x＋2)．∵l与抛物线有公共点，∴方程组y2＝8x，y＝kx＋8有解，即k2x2＋(16k2－8)x＋64k2＝0有解．∴Δ＝(16k2－8)2－4k2×64k2≥0，即k2≤14.∴－12≤k≤12.答案：A5．解析：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2直线y＝k(k＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)，如图所示过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连结OB.|OB|＝12|AF|，∴|OB|＝|BF|点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,22)，∴k＝22－01－－2＝223，选D.答案：D6．解析：抛物线的方程为y2＝4x，A(x1，y2)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，y21＝4x1y22＝4x2.两式相减得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.答案：y＝x7．解析：由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－p2，联立有y2＝2pxy＝x－p2⇒x2－3px＋p24＝0，又|AB|＝1＋123p2－4×p24＝8⇒p＝2.答案：28．解析：由抛物线方程y2＝10x可知②⑤满足条件．答案：②⑤9．解析：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)(yB＞0)则AP→＝(x－xA，y)，PB→＝(－x，yB－y)，由AP→＝PB→得xA＝2x，yB＝2y，又MA→＝(xA,2)，AP→＝(x－xA，y)，即MA→＝(2x,2)，AP→＝(－x，y)，由MA→·AP→＝0得x2＝y(y＞0)．(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k(x＋2)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为y′＝2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2.由方程组x2＝yy＝kx＋2得x2－kx－2k＝0，所以x1＋x2＝k，x1·x2＝－2k，当l1⊥l2时，2x1·2x2＝－1，所以k＝18.所以，直线l的方程是y＝18(x＋2)．10．解析：(1)证明：由题意设Ax1，x212p，Bx2，x222p，x1＜x2，M(x0，－2p)．由x2＝2py得y＝x22p，得y′＝xp，所以kMA＝x1p，kMB＝x2p.因此直线MA的方程为y＋2p＝x1p(x－x0)，直线MB的方程为y＋2p＝x2p(x－x0)．所以x212p＋2p＝x1p(x1－x0)，①x222p＋2p＝x2p(x2－x0)．②由①、②得x1＋x22＝x1＋x2－x0，因此x0＝x1＋x22，即2x0＝x1＋x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x0＝2时，将其代入①、②并整理得：x21－4x1－4p2＝0，x22－4x2－4p2＝0，所以x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，因此x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2，又kAB＝x222p－x212px2－x1＝x1＋x22p＝x0p，所以kAB＝2p.由弦长公式得||AB＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋4p216＋16p2.又||AB＝410，所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.