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第一讲几何证明第一节相似三角形的判定及其有关性质题号12345答案一、填空题1.如右图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠，使点B落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为________．2．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，矩形的面积为40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________cm.3．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为________cm2.4．直角三角形ABC中(C为直角)，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，则AE·BF·ABCD3＝______.5.(2009年汕头模拟)如右图所示，已知DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE∶BC的值是________．6．如下图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD、AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.7．如下图所示，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，CM延长线交AB于N，AB＝24cm，则AN＝________cm.8．矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，则DE＝________.二、解答题9.如右图所示，E为△ABC的边AC上一点，AEEC＝12，连结BE.(1)若G为BE的中点，连结AG并延长交BC于D，求BD∶DC的值．(2)若BG∶GE＝2∶1，则BD∶DC的值将如何变化？(3)若AEEC的值由12改变为mn，G仍为BE中点，求BD∶DC.10.如右图，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD.(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．参考答案1．解析：依题意知，FG垂直平分线段BE，过F作FH⊥CD，垂足为H.则∠ABE＝∠HFG，∴Rt△ABE∽Rt△HFG，∴ABEB＝FHFG，∵AB＝12，AD＝10，∴BE＝13，∴FG＝FH·EBAB＝10×1312＝656.答案：6562．解析：∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴S△ABE∶S△DAE＝1∶4，又△ABE∽△DAE，∴AB∶AD＝1∶2，又∵矩形的面积为40cm2，∴AB＝25cm，AD＝45cm，∴BD＝10cm，故AE＝4cm.答案：43．724.15.1∶26.157．解析：△BCN中，取BN中点E，D为BC中点，则DE∥CN，在△ADE中，∵M为AD中点，MN∥DE，∴N为AE中点，故N，E为AB的两个三等分点．故AN＝8cm.答案：88．解析：∵∠BAM＋∠DAM＝∠DAM＋∠ADE＝90°，∴∠BAM＝∠ADE，∠ABM＝∠AED＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴DEAB＝DAAM，DE＝DAAM×AB＝baa2＋b22＝2ab4a2＋b2.答案：2ab4a2＋b29．解析：(1)如右图所示，过E作EH∥BC交AD于H，则在△BDG和△EHG中，∠DBG＝∠HEG，BG＝EG，∠BGD＝∠EGH，∴△BDG≌△EHG.∴BD＝EH.又∵EH∥CD，∴HEDC＝AEAC＝13.∴BDDC＝13.(2)如上图所示，∵EH∥BC，则△BDG∽△EHG.∴BDEH＝BGEG＝21.∴BD＝2EH.又∵EH∥DC，∴EHCD＝AEAC＝13.∴BDDC＝2EHCD＝23.(3)原理同(1)，BDDC＝HEDC＝AEAC＝mm＋n.10．证明：(1)∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC.∵DE⊥BC，BD＝DC，∴BE＝CE.∴∠B＝∠DCF.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M.由△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴S△ABCS△FCD＝BCCD2＝4.∴S△ABC＝20.∴20＝12×10×AM.∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴DEAM＝BDBM.∵DM＝12DC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，∴DE4＝55＋52.∴DE＝83.