吉林省实验中学2015-2016高二数学(理)期中试题及答案

吉林省实验中学2015---2016学年度上学期高二年级数学学科（理科）期中考试试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）方程322xxyx所表示的曲线是(A)一个圆(B)一条直线(C)一个点和一条直线(D)一条直线和一个圆（2）两条直线1:(1)3laxay，2:(1)(23)2laxay互相垂直，则a的值是(A)5(B)1(C)1或3(D)0或3（3）已知点),(yxP在圆22(2)1xy上运动，则代数式yx的最大值是(A)33(B)－33(C)3(D)－3（4）圆O1:0222xyx＋和圆O2:0422yyx＋的位置关系是(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切（5）已知实数,xy满足1000xyxyx，则2xy的最大值为(A)12(B)0(C)1(D)12（6）若直线kxy与圆1)2(22yx的两个交点关于直线02byx对称，则bk,的值分别为(A)21k，4b(B)21k，4b(C)21k，4b(D)21k，4b（7）已知直线l经过点M(2，3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长时，直线l的方程为(A)x－2y＋4＝0(B)3x＋4y－18＝0(C)y＋3＝0(D)x－2＝0（8）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A)x24＋y2＝1(B)x216＋y212＝1(C)x24＋y23＝1((D)x216＋y24＝1（9）已知椭圆:C2214xy的左、右焦点分别为12,FF，椭圆C上点A满足212AFFF.若点P是椭圆C上的动点，则12FPFA的最大值为(A)23(B)21(C)233(D)415（10）在三棱柱111ABCABC中，底面是正三角形，侧棱1AA底面ABC,点E是侧面11CCBB的中心，若13AAAB,则直线AE与平面11CCBB所成角的大小为(A)30(B)45(C)60(D)90（11）椭圆141622yx上的点到直线022yx的最大距离是（）(A)3(B)11(C)10(D)22（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，21F,F为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，12FPF的重心为G，内心I，且有12IGFF（其中为实数），椭圆C的离心率(A)12(B)13(C)23(D)32二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）过点(1,2)P且垂直于直线320xy的直线方程为（14）若圆C的半径为3，其圆心与点)0,1(关于直线xy对称，则圆C的标准方程为________（15）在正方体1111DCBAABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是1CC、AD的中点．那么异面直线OE和1FD所成角的余弦值为（16）椭圆2222:1(0)xyEabab的左．右焦点分别为12,FF，焦距为c2，若3()yxc与椭圆E的一个交点M满足12212MFFMFF，则该椭圆的离心率等于三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）已知1F、2F为椭圆012222babyax的左、右焦点，过2F做椭圆的弦AB.（Ⅰ）求证：ABF1的周长是常数；（Ⅱ）若ABF1的周长为16，且1AF、21FF、2AF成等差数列，求椭圆方程．（18）(本小题满分12分)已知点C的坐标是)3,2(，过点C的直线CA与x轴交于A，过点C且与直线CA垂直的直线CB交y轴与点B，设点M为AB的中点，求点M的轨迹方程．（19）(本小题满分12分)已知0520402yxyxyx，求（Ⅰ）12xyz的取值范围;（Ⅱ）251022yyxz的最小值.（20）(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，E是棱1CC上的动点，F是AB中点，2BCAC，41AA．（Ⅰ）求证：CF平面1ABB；（Ⅱ）若二面角1AEBB的大小是45，求CE的长．（21）(本小题满分12分)已知圆,02042:22yxyxC直线.046112:mymxml(Ⅰ)求证：直线l与圆C相交；(Ⅱ)计算直线l被圆C截得的最短的弦长．（22）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点32(,2)2在椭圆上．（I）求椭圆的离心率；（II）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过M作圆222xyb的切线交椭圆于P,Q两点，求证：△2PFQ的周长是定值．吉林省实验中学2015-2016高二上学期期中考试数学学科（理科）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）D（2）C（3）A（4）B（5）D（6）B（7）D（8）C（9）B（10）A（11）C（12）A二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）13yx（14）9)1(22yx（15）515（16）13三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17（本小题满分10分）解：（Ⅰ）a4（Ⅱ）164a4a1AF、21FF、2AF成等差数列ac242c32b椭圆方程为1121622yx（18）解：设)0,(aA，),0(bB，),(yxMCBCA0CBCA01332baM是AB的中点，ax2，by2，01364yx若用斜率乘积为1，需讨论分式的分母是否为0，不讨论的扣1分（检验)23,1(M求出直线上的不扣分）（19）解：（Ⅰ）三条直线的交点分别是)3,1(),9,7(),1,3(CBA)1()2(xyz，表示点)2,1(N到CA,两点斜率的取值范围。25,43NCNAKK,Z的取值范围是25,43（Ⅱ）Z表示到可行域中的点的距离的平方最小值。)5,0(到直线02yx的距离的平方为29是最小的。（20）（Ⅰ）证明：∵三棱柱111ABCABC是直棱柱，∴1BB平面ABC.又∵CF平面ABC，∴CF1BB.∵90ACB，2ACBC，F是AB中点，∴CFAB.又∵1BB∩ABB，∴CF平面1ABB.（Ⅱ）解：以C为坐标原点，射线1,,CACBCC为,,xyz轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则(0,0,0)C,(2,0,0)A,1(0,2,4)B.设(0,0,)Em，平面1AEB的法向量(,,)nxyz，则1(2,2,4)AB,(2,0,)AEm.且1ABn，AEn.于是12240,200.ABnxyzAEnxymz所以,24.2mzxmzzy取2z，则(,4,2)nmm∵三棱柱111ABCABC是直棱柱，∴1BB平面ABC.又∵AC平面ABC，∴AC1BB.∵90ACB，∴ACBC.∵1BB∩BCB，∴AC平面1ECBB.∴CA是平面1EBB的法向量，(2,0,0)CA.∵二面角1AEBB的大小是45，∴22222cos4522(4)2CAnmCAnmm.解得52m.∴52CE.（21）（I）证明：圆的标准方程25)2()1(22yx，圆心)2,1(，2分直线经过定点)314,32(M4分25)2314()132(22点M在圆的内部，则直线和圆相交。（II）当CM垂直弦AB时，弦长最短，由垂径定理得最小值为3108（22）（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F，2(1,0)F，1c，∵H32(,2)2在椭圆上，代入椭圆方程得：3a，22b，椭圆的方程是22198xy，31e…（6分）（II）方法1：设1122,,(,)PxyQxy，则2211198xy，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，∵103x，∴1233xPF，在圆中，M是切点，∴222222111111||||88(1)893xPMOPOMxyxx，∴211113333PFPMxx，同理23QFQM，∴22336FPFQPQ，因此△2PFQ的周长是定值6．…………（12分）方法2：设PQ的方程为(0,0)ykxmkm，由18922xxmkxy，得072918)98(222mkmxxk设),(),,(2211yxQyxP，则2219818kkmxx，222198729kmxx，∴||1||212xxkPQ2122124)(1xxxxk22222189721()48989kmmkkk22222498(98)1(89)kmkk，∵PQ与圆822yx相切，∴2221mk，即2122km，∴26||89kmPQk，∵22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，∵103x，∴1233xPF，同理2221(9)333xQFx，∴12222226666663898989xxkmkmkmFPFQPQkkk，因此△2PFQ的周长是定值6．…………（12分）