全国I卷2015高三最后一模数学(理)试题及答案

2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y)|x，y为实数，且y=x－2}，则A∩B的元素个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2（B）z的实部为1（C）z的虚部为－i（D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22（B）0.28（C）0.36（D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41)（B）[21，41]（C）(21，41]（D）[21，41)（5）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝52，且a2＋a4＝54，则Snan＝（A）4n－1（B）4n－1（C）2n－1（D）2n－1（6）过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为开始是x≤81？否输入xx＝2x－1结束k＝0输出kk＝k＋1原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A）2（B）2（C）5（D）3（7）已知函数f(x)＝cos(2x＋π3)，g(x)＝sin(2x＋2π3)，将f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合（A）向左平移π12（B）向右平移π12（C）向左平移π6（D）向右平移π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）1136（B）3（C）533（D）433（9）已知向量a=（1,2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则c=（A）（79，73）（B）（73，79）（C）（73，79）（D）（－79，－73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有（A）24种（B）36种（C）48种（D）60种（11）函数，其图像的对称中心是（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是16上述命题中，真命题的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．侧视图俯视图正视图1123（13）在(1＋x2)(1－2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1,d2,d3，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|AB－AC|＝25，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋3cosA＝2sinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：甲乙9707863311057983213（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．d1d2d3BCAPBCB1B1AC1A1A1（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数x轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为BC︵的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f(x)＝|x－3|＋|x－4|．（Ⅰ）解不等式f(x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)ABCDEO一、选择题：CDBCDABCDDBA二、填空题：（13）41；（14）100；（15）[125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sinA＋3cosA＝2sinB即2sin(A＋3)＝2sinB，则sin(A＋3)＝sinB．…3分因为0＜A，B＜，又a≥b进而A≥B，所以A＋3＝－B，故A＋B＝23，C＝3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝23[sinA＋sin(A＋3)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋6)．…10分当A＝3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝38，p2＝12，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝316，依题意，X～B(2，316)，P(X＝k)＝Ck2(316)k(1316)2－k，k＝0，1，2，…7分X的分布列为X012P169256782569256…10分X的均值E(X)＝2×316＝38．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz．其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．设AB＝2，则A(2，－1，0)，B(0，－1，0)，C(0，0，3)，A1(2，1，0)．AB→＝(－2，0，0)，AC→＝(－2，1，3)，AA1→＝(0，2，0)．…6分设n1＝(x1，y1，z1)为面ABC的法向量，则n1·AB→＝0，n1·AC→＝0，即－2x1＝0，－2x1＋y1＋3z1＝0．取z1＝－1，得n1＝(0，3，－1)．…8分设n2＝(x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·AA1→＝0，n2·AC→＝0，即2y2＝0，－2x2＋y2＋3z2＝0．取x2＝3，得n2＝(3，0，2)．…………………10分所以cosn1，n2＝n1·n2|n1||n2|＝－77．因此二面角B-AC-A1的余弦值为－77．……………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a2＋1b2＝1，①且a2－b2a＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C的方程为x26＋y23＝1．…………………………………………………3分（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－41＋2k2，x1＝－4k2＋4k＋21＋2k2．设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝－4k2－4k＋21＋2k2．………………………………………………………6分因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，BCB1B1AC1A1A1xzyO故kPQ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k1＋2k2＝1，因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f(x)=当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．∵x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）．f(a)=lna＋1=0，可知a=1.……………………………4分（Ⅱ）令1＋，由x0得知t1，，于是原不等式等价于：.取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g(t)＜0，g(t)单调递减，当t∈(1，＋∞)时，g(t)＞0，g(t)单调递增．∴g(t)g(1)=0，也就是.∴.……………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x是正整数时，不等式也成立，可以令：x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得：即.……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE，因为D为BC︵的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB．……………………………5分（Ⅱ）因为D为BC︵的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD．EBOACDACCD＝ADCEAD·CD＝AC·CE2AD·CD＝AC·2CE2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分（23）解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1