2012年北京数学高考模拟试题（三）（理）

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）数学理工农医类（北京卷）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）1.若集合}02|{},3121|{xxxBxxA,则BA=()A.}01|{xxB.}10|{xxC.}20|{xxD.}10|{xx2.若等比数列na满足nnnaa161，则公比为A．2B．4C．8D．163.设集合A＝{0,2,4}，B＝{1,3,5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有()A．24个B．48个C．64个D．116个4.在极坐标系中，点)3,2(到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．3B.942C.912D.25.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是A．8B．5C．3D．26.若0,0ba，且函数224)(23bxaxxxf在1x处有极值，则ba的最大值等于A．2B．3C．6D．97.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：300()2tMtM，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克8.对实数a和b，定义运算“”：ba＝1,1,babbaa，设函数Rxxxxxf),()2()(22，若函数cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－∞，－2]∪)43,1(B．(－∞，－2]∪)23,1(C.),41()41,1(D.)43,1(,41第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.5i1－2i＝.10.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．11.设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为，该双曲线的离心率是.12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．13.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC=．14.设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=FyxEyxyyxx22112121,,,2,2所组成的图形面积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量(3sin,1)4xm，2(cos,cos)44xxn，()fxmn(I)若()1fx，求cos()3x的值；(II)在ABC中，角ABC、、的对边分别是abc、、，且满足1cos2aCcb，求函数()fB的取值范围.16．（本小题满分13分）如图5，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，,EF分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB．（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（II）求二面角EDFC的余弦值；（III）在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出BCBP的值；如果不存在，请说明理由。17.(本题满分13分)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19202123252932333741乙：10263030343744464647（I）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；（II）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和．．．．．．．．．．．．．不买的可能性各占一半．．．．．．．．．．，求该市绿化部门此次采购所需资金总额X的分布列及数学期望值()EX甲乙123418.（本小题满分13分）已知函数2(1)()axfxx，其中0a.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若直线10xy是曲线()yfx的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设2()ln()gxxxxfx，求()gx在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数）19.（本小题满分14分）已知椭圆13:22yxC的右顶点为A，上顶点为B.（Ⅰ）直线ty与椭圆交于不同的两点,EF，若(,)Dxy是以EF为直径的圆上的点，当t变化时，求D点的纵坐标y的最大值；（Ⅱ）过点)2,0(且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点,PQ，是否存在k，使得向量OPOQ与AB共线？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）设数列na满足.,2222*13221Nnnaaaann（I）求数列na的通项公式；（II）设,1,log1121nnbbcabnnnnn记,21nncccS证明：Sn＜1.