2012年北京数学高考模拟试题（三）（理）答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）2012.5一、选择题:题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BBCACDDA二、填空题:（9）－2＋i（10）π3（11）2；213（12）600（13）233（14）7三、解答题：.15．解：（1）231113sincoscossincossin,44422222262xxxxxxfxmn而11,sin.262xfx21coscos212sin.326262xxx（2）22211cos,,222abcaCcbacbab即2221,cos.2bcabcA又0,,3AA又20,,36262BB31,.2fB16．（1）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．…………3分法一：（2）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32FE.…………4分平面CDF的法向量为)2,0,0(DA设平面EDF的法向量为),,(zyxn，则00nDEnDF即)3,3,3(0303nzyyx取，…………6分721||||,cosnDAnDAnDA，所以二面角E—DF—C的余弦值为721；…8分ABCDEFxzPABCDEFxzP（3）设332023),0,,(yyDEAPyxP则，又)0,32,(),0,,2(yxPCyxBP，323)32)(2(//yxxyyxPCBP。…………10分把BCBPxy31,34332代入上式得，所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE。此时，31BCBP.…………13分17．解：画出茎叶图如下：…………………………………………2分①甲地树苗高度的平均数为28cm，乙地树苗高度的平均数为35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数……………………………4分②甲地树苗高度的中位数为27cm，乙地树苗高度的中位数为35.5cm，∴甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数…………………………6分（2）0,5,10,15,20X，设5XY，则Y～1(4,)2B………………………8分04411(0)C()216PX14411(5)C()24PX24413(10)C()28PX34411(15)C()24PX44411(20)C()216PX∴X的分布列为X05101520P116143814116…………………………11分∴()5()10EXEY∴该市绿化部门此次采购的资金总额X的数学期望值为10万元…………………13分18．解：（Ⅰ）3(2)()axfxx，（0x），……………1分在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()fx的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).………3分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1axyxxyaxx解得01x，1a.……………6分（Ⅲ）()gxln(1)xxax，则()ln1gxxa，………7分解()0gx，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，()gx为递减函数，在区间1(e,)a上，()gx为递增函数.………8分当1e1a，即01a时，在区间[1,e]上，()gx为递增函数，所以()gx最大值为(e)eegaa.…………9分当1eea，即2a时，在区间[1,e]上，()gx为递减函数，所以()gx最大值为(1)0g.………10分当11eea，即12a时，()gx的最大值为(e)g和(1)g中较大者；(e)(1)ee0ggaa，解得ee1a，所以，e1e1a时，()gx最大值为(e)eegaa，e2e1a时，()gx最大值为(1)0g.…………12分综上所述，当e0e1a时，()gx最大值为(e)eegaa，当ee1a时，()gx的最大值为(1)0g.…………13分19．解（1）由3322yxty2213tx，11t2132tEFr，圆心为),0(t以EF为直径的圆的方程为：)1(3)(222ttyx2分213tty（当0x时取等）令)),0((cost则)6sin(2sin3cosy所以D的纵坐标最大值为26分（2）2:kxyl，由33222yxkxy消去y:0326)31(22kxxk330)31(127222kkk设),(),,(2211yxQyxP,PQ的中点M),(00yx由点差法：)(3)(32121212122212221yyxxxxyyyyxx即000033kyxyxk①M在直线l上200kxy②又)1,0(),0,3(BAAB)1,3(，而OQOP与AB共线，可得OM//AB003yx③,由①②③得33k，12分这与33k矛盾，故不存在13分20．解（1）由题意，,222221123221naaaaannnn当2n时，.21222123221naaaann两式相减，得.2121221nnann所以，当2n时，.21nna………………………………………………………4分当n＝1时，211a也满足上式，所求通项公式.21*Nnann…………………6分（2）.121log1log12121nabnnn…………………………………………………8分11111nnnnnncn……………………………………………………10分1114131312121121nncccSnn111n＜1.…………………………………………………12分