清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)

清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第1页共8页高二第二学期期末试卷数学（理科）（清华附中高04级）2006.7.4.一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片里任取2张，这2张卡片的数字恰好是相邻数字的概率等于（）A．25B．15C．310D．7102．将锐角0QMN=60,4边长的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60°的二面角，则MP与NQ间的距离等于（）A．23B.3C6D33．若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为()A．4327πB．2327πC．33πD．36π4．正四棱锥相邻两侧面所成的二面角一定是（）A．锐角B．直角C．钝角D．均有可能5．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是（）A．若lβ且α⊥β,则l⊥α.B．若l⊥β且α∥β,则l⊥α.C．若l⊥β且α⊥β,则l∥α.D．若α∩β=m且l∥m,则l∥α.6．在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（）A．至多只有一个直角三角形B．至多只能有两个直角三角形C．可能都是直角三角形D．一定都不是直角三角形7．在平行六面体1111ABCD-ABCD中，1AB=AD=AAa,且011BAD=BAADAA60，则对角线1AC()A.22aB.2aC.3aD.6a8．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是右图中的（）清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第2页共8页二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．一个单位有职工160人，其中有业务员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人，为了了解职工的身体健康状况，要从中抽取一定容量的样本，现用分层抽样的方法得到业务员的人数为15人，那么这个样本的容量为.10．若经过正三棱锥各侧棱中点的截面面积为243cm，则棱锥的底边长为.11．设地球的半径为R，在北纬045圈上有A、B两地，它们的经度差090，则A、B两地间的球面距离为.12．已知等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD将三角形折成直二面角，则此时点A到BC的距离是.13．在二面角α－l－β的一个面α内有一点P，点P到棱l的距离为到面β的距离的2倍，则二面角α－l－β的大小是.14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的均匀硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为ξ，E=.三、解答题：（本大题共4小题，共36分）15(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人都做错的概率是14，（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率;（2）求独立做对这道题的人数的概率分布与数学期望.清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第3页共8页16.（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长为a，点M在边BC上，1AMC是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：11ABACM平面;（2）求点C到平面1MAC的距离.清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第4页共8页17．(本题满分10分)已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（1）求证：DA⊥平面ABC；（2）求二面角G-FC-E的大小.ABCDABCDEFG清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第5页共8页18.(本题满分10分)如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝3AD，设点E是棱PB上的动点（不含端点），过点A，D，E的平面交棱PC于F.（1）求证：BC//EF;（2）试确定点E的位置，使PC⊥平面ADFE，并说明理由.FEDCBAP清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第6页共8页附加题：（满分50分）一、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1．已知ABC中，0AB=9AC=15BAC=120，，，ABC所在平面外有一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，那么点P到平面的距离是.2.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0ACAB，,ADAC00ABAD，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ABD、△ACD的面积，则S1+S2+S3的最大值是________.3．设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离都为R2，B与C的球面距离为2R3，则球O在二面角B-OA-C内的那一部分的体积是.4.单位正方体1111DCBAABCD的面对角线BA1上存在一点P使得PDAP1最短，则PDAP1的最小值为.二、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）1．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）11:EBDBCD证明平面平面;（2）设H为截面1DEB内一点，求H到正方体表面11BCCB、DCC1D1、ABCD的距离之平方和的最小值.DABCA1D1B1C1E清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第7页共8页PEDCBA2．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，3DCBC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题(理)第8页共8页3．如图，斜三棱柱ABC—111ABC，已知侧面11BBCC与底面ABC垂直，090BCA，01BBC=60，1BC=BB2，若二面角1A-BBC为030．（1）求直线1AB与平面11BBCC所成角的正切值；（2）在平面11AABB内找一点P，使三棱锥1P-BBC为正三棱锥，并求点P到平面1BBC的距离．CAA1BB1C1