2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.2.1 Word版含解

第一章1.21.2.1A级基础巩固一、选择题1．已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为导学号84624104(D)A．194B．174C．154D．134[解析]∵s′＝2t－3t2，∴s′|t＝2＝4－34＝134，故选D．2．下列结论中不正确的是导学号84624105(B)A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝1x，则y′|x＝2＝－22C．若y＝1x2·x，则y′|x＝1＝－52D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5[解析]∵(1x)′＝(x－12)′＝－12x－32∴y′|x＝2＝－28.故B错误．3．若f(x)＝3x，则f′(－1)＝导学号84624106(D)A．0B．－13C．3D．13[解析]∵f(x)＝x13，∴f′(x)＝13x－23∴f′(－1)＝13(－1)－23＝13，∴选D．4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有导学号84624107(B)A．1条B．2条C．3条D．不确定[解析]f′(x)＝3x2，∴3x2＝1，解得x＝±33，故存在两条切线，选B．5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于导学号84624108(A)A．2B．－2C．3D．－3[解析]若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A．6．(2016·长春高二检测)曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为导学号84624109(C)A．1B．－π4C．π4D．5π4[解析]∵y＝13x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.二、填空题7．已知函数f(x)＝1x，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝1或－12.导学号84624110[解析]f′(x)＝－1x2，∴f′(a)＝－1a2，∴f′(a)－f(a)＝－1a2－1a，∴1a2＋1a＝2，解a＝1或－12.8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是__(2,8)或(－2，－8)__.导学号84624111[解析]设切点坐标为(x0，x30)，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3x20，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3x20＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．三、解答题9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率.导学号84624112[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．10．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excosx－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程.导学号84624113[解析]因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.B级素养提升一、选择题1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－12x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为导学号84624114(D)A．33B．333C．3D．393[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x20，曲线y＝3－12x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x20·(－x0)＝－1，∴x0＝393，故选D．2．曲线y＝3x上的点P(0,0)处的切线方程为导学号84624115(B)A．y＝－xB．x＝0C．y＝0D．不存在[解析]∵y＝3x，∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x3x＋Δx2＋3xx＋Δx＋3x2＝Δx3x＋Δx2＋3xx＋Δx＋3x2，∴ΔyΔx＝13x＋Δx2＋3xx＋Δx＋3x2，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13x23.∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.二、填空题3．(2015·全国Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝__1__.导学号84624116[解析]因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)，解之得a＝1.4．函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__21__.导学号84624117[解析]∵y′＝2x，∴在点(ak，a2k)的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题5．已知曲线C：y＝1t－x经过点P(2，－1)，求导学号84624118(1)曲线在点P处的切线的斜率．(2)曲线在点P处的切线的方程．(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．[解析](1)将P(2，－1)代入y＝1t－x中得t＝1，∴y＝11－x.∴ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝11－x＋Δx－11－xΔx＝11－x－Δx1－x，∴limΔx→0ΔyΔx＝11－x2，∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝11－22＝1.(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝y0x0＝11－x02，由于y0＝11－x0，∴x0＝12，∴切点M(12，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－12)，即y＝4x.6．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.导学号84624119[解析]两曲线方程联立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1，y＝1.∴k1＝－1x2|x＝1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x轴交点分别为(2,0)，(12，0)．∴S＝12×1×2－12＝34.C级能力拔高求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.导学号84624120[解析]解法1：设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d＝|12－14－2|2＝728.解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，由x－y＋m＝0，y＝x2得x2－x－m＝0.∵直线l与抛物线y＝x2相切，∴判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－14，∴直线l的方程为x－y－14＝0，由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝|－2＋14|2＝728.解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝|x－x2－2|2＝|x2－x＋2|2＝22|x2－x＋2|＝22(x－12)2＋728.当x＝12时，d有最小值728，即所求的最短距离为728.