2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.2.2 Word版含解

第一章1.21.2.2A级基础巩固一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于导学号84624138(D)A．1B．2C．3D．4[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是导学号84624139(A)A．y＝x＋1B．y＝－x＋1C．y＝2x＋1D．y＝－2x＋1[解析]∵y＝ln(x＋2)，∴y′＝1x＋2，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝1，∴切线方程为y－0＝1×(x＋1)，即y＝x＋1.3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为导学号84624140(B)A．1nB．1n＋1C．nn＋1D．1[解析]对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝nn＋1.则x1·x2·…·xn＝12×23×34×…×n－1n×nn＋1＝1n＋1，故选B．4．(2016·泉州高二检测)若f(x)＝sinπ3－cosx，则f′(α)等于导学号84624141(A)A．sinαB．cosαC．sinπ3＋cosαD．cosπ3＋sinα[解析]∵f(x)＝sinπ3－cosx，∴f′(x)＝sinx，∴f′(α)＝sinα，故选A．5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是导学号84624142(A)A．nn＋1B．n＋2n＋1C．nn－1D．n＋1n[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1fn}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A．6．(2016·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是导学号84624143(B)[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a0，且c0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a0，故选B．二、填空题7．(2016·衡水中学高二检测)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝__－7__.导学号84624144[解析]由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又∵f′(x)＝3x2＋a，∴f′(1)＝3＋a，∴f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，∴|3＋a×2＋4－a－5|3＋a2＋1＝5⇒a＝－52，∴b＝14，∴3a＋2b＝－7.8．(2016·全国卷Ⅲ文，16)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__y＝2x__.导学号84624145[解析]当x0时，－x0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝exe＋x，所以当x0时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.三、解答题9．求下列函数的导数：导学号84624146(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝(x＋1)(1x－1)；(3)y＝sin4x4＋cos4x4；(4)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.[解析](1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)∵y＝(x＋1)1x－1＝－x12＋x－12，∴y′＝－12x－12－12x－32＝－12x1＋1x.(3)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.(4)∵y＝1＋x1－x＋1－x1＋x＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.10．已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式.导学号84624147[解析]由于(－1，f(－1))在切线上，∴－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2.∵f′(x)＝ax2＋b－2xax－6x2＋b2，∴－a－61＋b＝－2，a1＋b＋2－a－61＋b2＝－12，解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．故f(x)＝2x－6x2＋3.B级素养提升一、选择题1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝导学号84624148(C)A．e－1B．－1C．－e－1D．－e[解析]∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，解得f′(e)＝－1e，故选C．2．曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为导学号84624149(A)A．π22B．π2C．2π2D．12(2＋π)2[解析]曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为π22.二、填空题3．(2016·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝π6.导学号84624150[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.4．(2015·陕西理，15)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.导学号846241514152[解析]设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1，因此曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1；设g(x)＝1x(x＞0)，则g′(x)＝－1x2，由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1，所以P(1,1)．故本题正确答案为(1,1)．三、解答题5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式.导学号84624153[解析]∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝52，c＝－92.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.6．已知f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值.导学号84624154[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①(1)若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1.②由①②解得b＝14，不满足b≥1，故舍去．(2)若－1－b3，即－3b1，则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，即b2－2b2＋c＝－1.③由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，即9＋6b＋c＝－1.④由①④解得b＝－94，不满足b≤－3，故舍去．综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.C级能力拔高(2016·德州模拟)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.导学号84624156(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解析](1)f′(x)＝a＋bx2，又根据切线方程可知x＝2时，y＝12，y′＝74，则有2a－b2＝12a＋b4＝74，解a＝1b＝3.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋3x20)(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x－x0)．令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12|－6x0||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.