2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.6 Word版含解析

第一章1.6A级基础巩固一、选择题1．(2016·景德镇市高二质检)若曲线y＝x与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为导学号84624369(A)A．49B．59C．43D．53[解析]由题意知，0axdx＝a2，∵(23x32)′＝x12，∴0axdx＝23x32|a0＝23a32，∴23a32＝a2，∴a＝49.2.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为导学号84624370(A)A．14B．13C．12D．23[解析]由y＝x2y＝t2x0得，x＝t，故S＝0t(t2－x2)dx＋t1(x2－t2)dx＝(t2x－13x3)|t0＋(13x3－t2x)|1t＝43t3－t2＋13，令S′＝4t2－2t＝0，∵0t1，∴t＝12，易知当t＝12时，Smin＝14.3．(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，则13f(－x)dx＝导学号84624371(D)A．0B．3C．－23D．23[解析]∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，∴f(x)＝x2＋2x，∴f(－x)＝x2－2x，∴13f(－x)dx＝13(x2－2x)dx＝(13x3－x2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D．4．函数F(x)＝0xcostdt的导数是导学号84624372(A)A．f′(x)＝cosxB．f′(x)＝sinxC．f′(x)＝－cosxD．f′(x)＝－sinx[解析]F(x)＝0xcostdt＝sint|x0＝sinx－sin0＝sinx.所以f′(x)＝cosx，故应选A．5．(2016·昆明高二检测)若直线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分－aa(x3＋sinx－5)dx的值为导学号84624373(D)A．6＋2sin2B．－6－2cos2C．20D．－20[解析]由l1⊥l2得4－2a＝0即a＝2，∴原式＝－22(x3＋sinx－5)dx＝－22(x3＋sinx)dx＋－22(－5)dx＝0－20＝－20.6．1－2sin2θ2dθ的值为导学号84624374(D)A．－32B．－12C．12D．32[解析]∵1－2sin2θ2＝cosθ，∴1－2sin2θ2dθ＝cosθdθ＝sinθ＝32，故应选D．二、填空题7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为13.导学号84624375[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x3|10＝1，则P＝S阴S1＝13.8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－11f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝－1或13.导学号84624376[解析]由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴－11f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.三、解答题9．计算下列定积分：导学号84624377(1)02(4－2x)(4－x2)dx;(2)12x2＋2x－3xdx.[解析](1)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx＝16x－4x2－43x3＋12x4|20＝32－16－323＋8＝403.(2)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx＝12x2＋2x－3lnx|21＝72－3ln2.10．(2017·泉州模拟)已知f(x)＝(kx＋b)ex且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1).导学号84624378(1)求k与b的值；(2)求01x·exdx.[解析](1)∵f(x)＝(kx＋b)ex，∴f′(x)＝(kx＋k＋b)ex，∴f′(1)＝e，f(1)＝0，即2k＋be＝ek＋be＝0解得k＝1，b＝－1.(2)由(1)知f(x)＝(x－1)ex，f′(x)＝xex，∴01(xex)dx＝(x－1)ex|10＝0＋1＝1.B级素养提升一、选择题1．(2016·岳阳高二检测)若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为导学号84624379(B)A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1[解析]S1＝12x2dx＝x33|21＝73.S2＝121xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.S3＝12exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)．∵e2.7，∴S33S1S2.故选B．2．定义在R上的可导函数y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝abfxdxb－a成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为导学号84624380(C)A．1B．2C．3D．4[解析]由已知得：f(x0)＝－22x3－3xdx4＝14x4－32x22－24＝0，即x30－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±3，∴f(x)的平均值点有3个，故选C．二、填空题3．(x＋cosx)dx＝__2__.导学号84624381[解析](x＋cosx)dx＝(12x2＋sinx)＝2.4．函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k＝__3__.导学号84624382[解析]由y＝kx，y＝x2，解得x＝0，y＝0，或x＝k，y＝k2.由题意得，0k(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|k0＝12k3－13k3＝16k3＝92，∴k＝3.三、解答题5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a、b、c的值.导学号84624383[解析]∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx，取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx，则f′(x)＝ax2＋bx＋c，∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值.导学号84624384[解析]抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝01(x－x2)dx＝(x22－x33)|10＝12－13＝16.抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以S2＝01－k(x－x2－kx)dx＝(1－k2x2－x33)|1－k0＝16(1－k)3，又知S＝16，所以(1－k)3＝12.于是k＝1－312＝1－342.C级能力拔高设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.导学号84624385(1)求y＝f(x)的表达式．(2)若直线x＝－t(0t1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根．所以判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝－t0(x2＋2x＋1)dx，所以13x3＋x2＋x|－t－1＝13x3＋x2＋x|0－t即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.所以2t3－6t2＋6t－1＝0，所以2(t－1)3＝－1，所以t＝1－132.