2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 Wo

第三章3.13.1.1A级基础巩固一、选择题1．(2016·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为导学号84624698(A)A．－2B．1C．2D．1或－2[解析]由题意知：a2＋a－2＝0a2－3a＋2≠0解得a＝－2，故选A．2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝导学号84624699(A)A．－3B．－2C．2D．3[解析]由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A．3．(2016·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的导学号84624700(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a＋bi＝a＋bii2＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．4．(2017·潍坊高二检测)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为导学号84624701(B)A．－2B．3C．－3D．±3[解析]由题知m2－9＝0m＋20解得m＝3.故选B．5．(2017·上海高二检测)设x，y均是实数，i是虚数单位，复数(x－2y)＋(5－2x－y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的导学号84624702(A)[解析]由题可知x－2y05－2x－y≥0，可行域如A所示，故选A．6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋i3sinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于导学号84624703(D)A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋π3(k∈Z)C．2kπ±π6(k∈Z)D．2kπ＋π6(k∈Z)[解析]由复数相等的定义可知，sin2θ＝cosθ，cosθ＝3sinθ.∴cosθ＝32，sinθ＝12.∴θ＝π6＋2kπ，k∈Z，故选D．二、填空题7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝14，y＝__1__.导学号84624704[解析]由复数相等可知，x－1＝－3x，y＝1，∴x＝14，y＝1.8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝__2__.导学号84624705[解析]方程可化为2x2－3x－2＝0，x2－5x＋6＝0.解得x＝2.三、解答题9．已知z1＝cosα－45＋isinα－35，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值.导学号84624706[解析]由复数相等的充要条件，知cosα－45＝cosβ，sinα－35＝sinβ.即cosα－cosβ＝45，①sinα－sinβ＝35.②①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.10．(2017·会宁期中)设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限.导学号84624707[解析](1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由m2－2m－3＝0m2＋3m＋2≠0⇒m＝－1或m＝3m≠－1且m≠－2，得m＝3.(2)当复数对应的点在第二象限时，由m2－2m－30m2＋3m＋20⇒－1m3m－1或m－2，得－1＜m＜3.B级素养提升一、选择题1．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为导学号84624708(D)A．－7≤λ≤916B．916≤λ≤7C．－1≤λ≤1D．－916≤λ≤7[解析]由z1＝z2，得m＝2cosθ，4－m2＝λ＋3sinθ，消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－38)2－916.由于－1≤sinθ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2016·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－35)＋(cosθ－45)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为导学号84624709(A)A．－7B．－17C．7D．－7或－17[解析]因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即sinθ＝35，cosθ≠45，因为sinθ＝35且cosθ≠45，所以cosθ＝－45，所以tanθ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tanθ－11＋tanθ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．(2016·淄博高二检测)设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__3__.导学号84624710[解析]由题意得m2＋2m－15＝0，m＋5≠0，解得m＝3.4．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__.导学号84624711[解析]∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，∴x2－3x－30x－3＝1，解得：x＝4.三、解答题5．若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.导学号84624712[解析]由题意，得m2－3m＝0，m2－4m＋3＝0，m210，∴m＝0或m＝3，m＝3或m＝1，|m|10.∴当m＝3时，原不等式成立．6．定义运算abcd＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2yi－y1，求实数x，y的值.导学号84624713[解析]由定义运算abcd＝ad－bc，得3x＋2yi－y1＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，得2x＋y＝0，x＋3＝y，得x＝－1，y＝2.C级能力拔高已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围.导学号84624714[解析]若z总是虚数，则对任意的A，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，则只需k不在1－cosAsinA的值域内即可．解法一：1－cosAsinA＝2sin2A22sinA2cosA2＝tanA2，其中A∈(0，π)．∵当A2∈(0，π2)时，tanA2∈(0，＋∞)，∴1－cosAsinA的值域为(0，＋∞)．∴当k≤0时，1－cosAsinA≠k恒成立，即当k≤0时，不论A为何值，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，z总是虚数．解法二：∵1－cosAsinA＝－1sinAcosA－1，而sinAcosA－1表示点(cosA，sinA)与点(1,0)连线的斜率，又(cosA，sinA)，A∈(0，π)在除去端点的半圆上，如图所示，利用数形结合，有sinAcosA－1∈(－∞，0)，∴1－cosAsinA∈(0，＋∞)．以下同解法一．