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第三章3.23.2.1A级基础巩固一、选择题1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是导学号84624765(B)A．－2B．4C．3D．－4[解析]z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为导学号84624766(D)A．3B．2C．1D．－1[解析]z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是导学号84624767(A)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[解析]|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．4．□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是导学号84624768(C)A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[解析]AB→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC→对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知AB→＝DC→，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．二、填空题5．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为x0＝2，k＝－22，或x0＝－2，k＝22.导学号84624769[解析]方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．6．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝513＋1213i，则cos(α＋β)的值为12.导学号84624770[解析]∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝513＋1213i，∴cosα－cosβ＝513①sinα＋sinβ＝1213②①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝12.三、解答题7．已知平行四边形ABCD中，AB→与AC→对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.导学号84624771(1)求AD→对应的复数；(2)求DB→对应的复数；(3)求△APB的面积．[解析](1)由于ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→，于是AD→＝AC→－AB→，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即AD→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB→＝AB→－AD→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB→对应的复数是5.(3)由于PA→＝12CA→＝－12AC→＝－12，－2，PB→＝12DB→＝52，0，于是PA→·PB→＝－54，而|PA→|＝172，|PB→|＝52，所以172·52·cos∠APB＝－54，因此cos∠APB＝－1717，故sin∠APB＝41717，故S△APB＝12|PA→||PB→|sin∠APB＝12×172×52×41717＝52.即△APB的面积为52.B级素养提升一、选择题1．(2016·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为导学号84624772(C)A．1B．2C．－2D．－2或1[解析]由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得a2－2＋a＝0，a2－3a＋2≠0⇒a＝－2.2．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是导学号84624773(D)A．3B．4C．5D．6[解析]因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是32＋42＋1＝6.二、填空题3．(2016·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为__－4__.导学号84624774[解析]因为OA→＋OC→＝OB→，所以2＋a2i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以2－b＝－2a，a2＋a＝3，得a－b＝－4.4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为22.导学号84624775[解析]由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝22.三、解答题5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：导学号84624776(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．[解析](1)因为向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，所以向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD→＝BC→，所以向量AD→对应的复数为3－i，即AD→＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以x－2＝3，y－1＝－1，，解得x＝5，y＝0.所以点D对应的复数为5.(2)因为BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，所以cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝3－25×10＝210.所以sinB＝7210.所以S＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7.6．(2016·杭州高二检测)已知|z|＝2，求|z＋1＋3i|的最大值和最小值.导学号84624777[解析]设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋3i|表示圆上的点到点(－1，－3)的距离．又∵点(－1，－3)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.