2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 Wo

第三章3.23.2.2A级基础巩固一、选择题1．(2017·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若z1＋i＝2－i成立，则点P(a，b)在导学号84624796(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z1＋i＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝导学号84624797(A)A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i[解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．3．(2016·全国卷Ⅲ理，2)若z＝1＋2i，则4izz－－1＝导学号84624798(C)A．1B．－1C．iD．－i[解析]4izz－－1＝4i1＋2i1－2i－1＝i.4．(2016·长安一中质检)设z＝12＋32i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝导学号84624799(C)A．6zB．6z2C．6z－D．－6z[解析]z2＝－12＋32i，z3＝－1，z4＝－12－32i，z5＝12－32i，z6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i＝6(12－32i)＝6z－.二、填空题5．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是__2－i__.导学号84624800[解析]不妨设正方形的三个顶点A，B，C对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)，易知AB→·BC→＝0，设D(x，y)，则AB∥DC，因此应满足AB→＝DC→，即(－3，－1)＝(－1－x，－2－y)即－1－x－＝－3，－2－y＝－1，解得x＝2，y＝－1.则D(2，－1)，对应的复数为2－i，故答案为2－i.6．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝5.导学号84624801[解析]∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝3－i1－i＝3－i1＋i1－i1＋i＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝z－1＝2－i，∴|z2|＝5.三、解答题7．设存在复数z同时满足下列条件：导学号84624802(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.由复数相等的定义得，x2＋y2－2y＝8，①2x＝a，②由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x0，y0，∴－3≤x0，∴－6≤a＜0.B级素养提升一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则z|z|＝导学号84624803(D)A．1B．－1C．45＋35iD．45－35i[解析]|z|＝42＋32＝5，z＝4－3i，则z|z|＝45－35i.2．(2016·西宁高二检测)复数a＋i2－i为纯虚数，则实数a＝导学号84624804(D)A．－2B．－12C．2D．12[解析]因为复数a＋i2－i＝a＋i2＋i2－i2＋i＝2a－1＋2＋ai5为纯虚数，所以2a－1＝0,2＋a≠0.解得a＝12.二、填空题3．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是__－2__.导学号84624805[解析](1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.4．(2016·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__1__.导学号84624806[解析]因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i3－4i＝4＋3i3＋4i3－4i3＋4i＝25i25＝i.则|z|＝1.三、解答题5．已知z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.导学号84624807(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．(2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．(1)z2＝z1＋1z1＝a＋bi＋1a＋bi＝(a＋aa2＋b2)＋(b－ba2＋b2)i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－12≤a≤12，即z1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)ω＝1－z11＋z1＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i.因为a∈[－12，12]，b≠0.所以ω为纯虚数．6．(2016·潍坊高二检测)已知z为虚数，z＋9z－2为实数.导学号84624808(1)若z－2为纯虚数，求虚数z.(2)求|z－4|的取值范围．[解析](1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋9z－2＝2＋yi＋9yi＝2＋(y－9y)i∈R，得y－9y＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.(2)因为z＋9z－2＝x＋yi＋9x＋yi－2＝x＋9x－2x－22＋y2＋[y－9yx－22＋y2]i∈R，所以y－9yx－22＋y2＝0，因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，由(x－2)29得x∈(－1,5)，所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝x－42＋y2＝x－42＋9－x－22＝21－4x∈(1,5)．