2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.2.2 Word版

第二章2.22.2.2A级基础巩固一、选择题1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是导学号51124434(D)A．29B．118C．13D．23[解析]由P(A∩B)＝P(B∩A)得P(A)P(B)＝P(B)·P(A)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(A∩B)＝19，∴P(A)＝P(B)＝13.∴P(A)＝23.2．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是导学号51124435(A)A．1532B．932C．732D．1732[解析]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝(1－14×14)×12＝1532.故选A．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是导学号51124436(C)A．512B．12C．712D．34[解析]由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－12×56＝712.4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是导学号51124437(D)A．P1＋P2B．P1P2C．1－P1P2D．1－(1－P1)(1－P2)[解析]甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故选D．5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是导学号51124438(C)A．2个球都是白球B．2个球都不是白球C．2个球不都是白球D．2个球中恰好有1个白球[解析]从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝56.6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为导学号51124439(B)A．12B．512C．14D．16[解析]所求概率为23×14＋13×34＝512或P＝1－23×34－13×14＝512.二、填空题7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝__0.65__，P(A|B)＝__0.3__.导学号51124440[解析]∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14.由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为1124.导学号51124441[解析]甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝12×1－13×1－14＝14，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝13×1－12×1－14＝18，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝14×1－12×1－13＝112.甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝14＋18＋112＝1124.9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.导学号51124442[解析]由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.导学号51124443(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．[解析](1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有PAB＝14，PBC＝112，PAC＝29，即PA·[1－PB]＝14，①PB·[1－PC]＝112，②PA·PC＝29.③由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.解得P(C)＝23或119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.B级素养提升一、选择题1.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是导学号51124444(A)A．13B．29C．49D．827[解析]由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝827＋127＝13.2．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是导学号51124445(C)A．35B．34C．12D．310[解析]解法一：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为12.解法二：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则P(A)＝35，P(AB)＝C23C25＝310，∴P(B|A)＝PABPA＝12.二、填空题3．(2016·双鸭山高二检测)某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是1627.导学号51124446[解析]P＝(23)4＋C14·(13)·(23)3＝1627.4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是－13，13.导学号51124447[解析]由条件知，Pξ＝x3＋Pξ＝x1＝2Pξ＝x2Pξ＝x1＋Pξ＝x2＋Pξ＝x3＝1，∴P(ξ＝x2)＝13，∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－13≤d≤13.三、解答题5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.导学号51124448(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．[解析]记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)解法一：该选手被淘汰的概率：P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)解法一：P＝P(A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.解法二：P＝1－P(A1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格.导学号51124449(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析](1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝C26C14＋C36C310＝60＋20120＝23，P(B)＝C28C12＋C38C310＝56＋56120＝1415.(2)解法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－1415＝145.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(AB)＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.C级能力拔高(2017·德州高二检测)计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78，所有考试是否合格相互之间没有影响.导学号51124450(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．[解析]记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，“丙计算机考试获得合